Considere a matriz dada por:
determine:
O polinômio característico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico da matriz . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente à parte que estuda matrizes e seus polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do polinômio característico, que envolve determinantes e a própria matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que nos ajuda a encontrar os valores próprios (ou autovalores) de uma matriz. A fórmula para encontrar o polinômio característico de uma matriz é:
Aqui, representa os valores próprios e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade para 2x2 é:
Subtraindo de :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa nova matriz . Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
Subtraindo :

Resposta

O polinômio característico da matriz é:

Exercícios relacionados

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
.
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função .
e)
Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovalores de .
Considere a matriz dada por:
determine:
Os autovetores de .