Considere a matriz A dada por:
A=(ll 1 & 1 4 & 1 )
determine:
O polinômio característico de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico da matriz . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente à parte que estuda matrizes e seus polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do polinômio característico, que envolve determinantes e a própria matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que nos ajuda a encontrar os valores próprios (ou autovalores) de uma matriz. A fórmula para encontrar o polinômio característico de uma matriz det(A - lambda I) = 0 é:
Aqui, representa os valores próprios e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = (cc 1 & 0 0 & 1 ) . A matriz identidade A - lambda I = (cc 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda ) para 2x2 é:
Subtraindo de :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa nova matriz det(cc a & b c & d ) = ad - bc . Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1 times 4)
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
(1 - lambda)(1 - lambda) = 1 - 2lambda + lambda^2
Subtraindo 1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3 :

Resposta

O polinômio característico da matriz lambda^2 - 2lambda - 3 é:

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