Dados os vetores u=(1,-1,1) e v=(2,-3,4), calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v

Passo 1

Vamos resolver um problema de vetores envolvendo o cálculo da altura de um paralelogramo. Temos dois vetores, u = (1, -1, 1) e v = (2, -3, 4), que definem a base do paralelogramo. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores u e v. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude representa a área do paralelogramo formado por u e v.
A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy, , uz vx - ux vz, , ux vy - uy vx )
Substituindo os valores:
u times v = ( (-1)(4) - (1)(-3), , (1)(2) - (1)(4), , (1)(-3) - (-1)(2) ) = (-4 + 3, , 2 - 4, , -3 + 2) = (-1, -2, -1)

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial |u times v|, que representa a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a magnitude do vetor v, que será a base do nosso paralelogramo:
|v| = raiz2^2 + (-3)^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29

Passo 5

A altura do paralelogramo relativa à base v é dada pela fórmula:
A
Substituindo os valores que calculamos:
A

Resposta

A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v é raizdfrac629 unidades.

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