Considere a matriz dada por:
determine:
Mostre que é semelhante a matriz , ou seja, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa mostrar que ela é semelhante a uma matriz diagonal , ou seja, que . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de . Valores próprios são números que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Vamos calcular:
Agora, calculamos o determinante:
Resolvendo :
Então, temos duas soluções para :
Portanto, os valores próprios são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher , então . Portanto, um vetor próprio é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhendo , temos . Então, o vetor próprio é:

Passo 4

Com os vetores próprios encontrados, podemos construir a matriz :
Aqui, cada coluna de é um vetor próprio de .

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz diagonal usando os valores próprios:
Cada elemento da diagonal de é um valor próprio correspondente.

Resposta

Portanto, mostramos que a matriz é semelhante à matriz através de:
Onde:

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Considere a matriz dada por:
determine:
Mostre que a matriz é diagonalizável.
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Determine o ponto de ordenada - 4 sobre a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta .