Considere a matriz
dada por:
determine:
Mostre que
é semelhante a matriz
, ou seja,
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz
e precisa mostrar que ela é semelhante a uma matriz diagonal
, ou seja, que
. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de
. Valores próprios são números
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Vamos calcular:
Agora, calculamos o determinante:
Resolvendo
:
Então, temos duas soluções para
:
Portanto, os valores próprios são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos leva ao sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher
, então
. Portanto, um vetor próprio é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhendo
, temos
. Então, o vetor próprio é:
Passo 4
Com os vetores próprios encontrados, podemos construir a matriz
:
Aqui, cada coluna de
é um vetor próprio de
.
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz diagonal
usando os valores próprios:
Cada elemento da diagonal de
é um valor próprio correspondente.
Resposta
Portanto, mostramos que a matriz
é semelhante à matriz
através de:
Onde:
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcular a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
Considere a matriz
dada por:
determine:
Mostre que a matriz é diagonalizável.
Mostre que a matriz
Considere os pontos
e
. Verifique que os segmentos
e CD se intersectam e determine o ponto de intersecção.
Determine o ponto
de ordenada - 4 sobre a reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.