Considere a matriz A dada por:
A=(ll 1 & 1 4 & 1 )
determine:
Mostre que A é semelhante a matriz D, ou seja, U D U^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa mostrar que ela é semelhante a uma matriz diagonal , ou seja, que . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de det(A - lambda I) = 0 . Valores próprios são números A - lambda I = 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (4 times 1) = (1 - lambda)^2 - 4
Onde (1 - lambda)^2 - 4 = 0 (1 - lambda)^2 = 4 1 - lambda = pm 2 é a matriz identidade do mesmo tamanho que 1 - lambda = 2 Rightarrow lambda = -1 1 - lambda = -2 Rightarrow lambda = 3 .
Vamos calcular:
Agora, calculamos o determinante:
Resolvendo :
Então, temos duas soluções para :
Portanto, os valores próprios são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para A + I = 2 & 1 4 & 2 :
Resolvemos 2v1 + v2 = 0 4v1 + 2v2 = 0 :
v1 = 1 -2
Isso nos leva ao sistema:
A - 3I = -2 & 1 4 & -2
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher -2v1 + v2 = 0 4v1 - 2v2 = 0 , então v2 = 1 2 . Portanto, um vetor próprio é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhendo , temos . Então, o vetor próprio é:

Passo 4

Com os vetores próprios encontrados, podemos construir a matriz U = 1 & 1 -2 & 2 :
Aqui, cada coluna de é um vetor próprio de .

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz diagonal D = -1 & 0 0 & 3 usando os valores próprios:
Cada elemento da diagonal de é um valor próprio correspondente.

Resposta

Portanto, mostramos que a matriz A = U D U^-1 é semelhante à matriz U = 1 & 1 -2 & 2 e D = -1 & 0 0 & 3 através de:
Onde:

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