Considere os pontos A=(0,3), B=(2,1), C=(0,-2) e D=(3,3). Verifique que os segmentos AB e CD se intersectam e determine o ponto de intersecção.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para verificar se os segmentos de reta AB e CD se cruzam e, se sim, encontrar o ponto onde isso acontece. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, onde vamos encontrar as equações das retas que passam por esses pontos e ver onde elas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação da reta AB. Sabemos que os pontos A = (0, 3) e B = (2, 1). A fórmula da inclinação (coeficiente angular) é:
mAB = yB - yAxB - xA = 1 - 32 - 0 = -22 = -1
Agora, usando a forma da equação da reta y = mx + b, onde m é a inclinação e b é o intercepto no eixo y. Sabemos que a reta passa pelo ponto A = (0, 3), então:
3 = (-1)(0) + b Rightarrow b = 3
Então, a equação da reta AB é:
y = -x + 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta CD, onde C = (0, -2) e D = (3, 3). Calculando a inclinação:
mCD = 3 - (-2)3 - 0 = 53
Usando novamente a forma y = mx + b e sabendo que passa pelo ponto C = (0, -2):
-2 = 53(0) + b Rightarrow b = -2
Então, a equação da reta CD é:
y = 53x - 2

Passo 4

Para encontrar o ponto de intersecção, vamos resolver o sistema de equações formado pelas retas AB e CD:
y = -x + 3 y = 53x - 2
Igualando as duas expressões para y:
-x + 3 = 53x - 2
Vamos resolver para x:
3 = 53x + x - 2 3 + 2 = 83x 5 = 83x x = 158
Agora, substituindo o valor de x em uma das equações para achar y:
y = -158 + 3 = -158 + 248 = 98

Resposta

Os segmentos AB e CD se intersectam no ponto (158, 98).

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