Determine o ponto P de ordenada - 4 sobre a reta s que passa pelo ponto A=(-2,5) e é perpendicular à reta r:lx=1-2 t y=2+3 t.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma reta chamada s que passa pelo ponto A=(-2,5) e é perpendicular a outra reta r, cuja equação está definida por:
r: l x = 1 - 2t y = 2 + 3t
Queremos encontrar o ponto P nessa reta s que tem a ordenada y = -4. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a reta perpendicular, encontrar sua equação e depois localizar o ponto P.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r. Ela está parametrizada pelas equações:
x = 1 - 2t y = 2 + 3t
O coeficiente de t na equação de x é -2 e na de y é 3. Esses coeficientes representam as direções da reta r. A inclinação (ou coeficiente angular) da reta r pode ser encontrada pela razão entre as variações de y e x, ou seja:
mr = De

Passo 3

Sabendo que a reta s é perpendicular à reta r, a inclinação de s ( ms) será o negativo do inverso da inclinação de r. Ou seja:
ms = -1mr = -1-32 = 23

Passo 4

Agora que sabemos a inclinação da reta s e que ela passa pelo ponto A=(-2,5), podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação para escrever a equação de s. A fórmula é:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = 23 e A=(-2,5):
y - 5 = 23(x + 2)

Passo 5

Vamos simplificar a equação para a forma geral. Distribuindo o 23:
y - 5 = 23x + 43
Agora, somando 5 aos dois lados:
y = 23x + 43 + 5 y = 23x + 43 + 153 y = 23x + 193
Então, a equação da reta s é:
y = 23x + 193

Passo 6

Queremos encontrar o ponto P na reta s com ordenada y = -4. Vamos substituir y = -4 na equação de s e resolver para x:
-4 = 23x + 193
Primeiro, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 3:
-12 = 2x + 19
Agora, isolamos x:
2x = -12 - 19 2x = -31 x = -312

Resposta

O ponto P é (-dfrac312, -4).

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