Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função f(x)=.
e) e^-k x(a cos (x)+b sin (x))

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função . Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente aplicando propriedades de funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar das transformadas básicas de e , além da propriedade que lida com o fator exponencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das transformadas de Laplace das funções trigonométricas básicas:
Lcos(x) = ss^2 + 1
Lsin(x) = 1s^2 + 1
Essas fórmulas nos dão a transformada de e em termos de .

Passo 3

Agora, observe que na função Le^-a x f(x) = F(s + a) temos um fator exponencial multiplicando as funções trigonométricas. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Essa propriedade diz que multiplicar a função original por equivale a substituir por na transformada de Laplace da função .

Passo 4

Aplicando essa propriedade às transformadas que calculamos no Passo 2, substituímos Le^-k x cos(x) = s + k(s + k)^2 + 1 por Le^-k x sin(x) = 1(s + k)^2 + 1 :

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função Lf(x) = a cdot s + k(s + k)^2 + 1 + b cdot 1(s + k)^2 + 1 é:

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