(b) Calcular a inversa, para o caso , usando operações elementares.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma matriz que depende de um parâmetro . Nosso trabalho aqui é calcular a inversa dessa matriz quando , usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar operações elementares em matrizes para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir na matriz . Assim, a matriz fica:
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de , vamos montar uma matriz aumentada com e a matriz identidade do mesmo tamanho:
Nossa meta é transformar o lado esquerdo dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações elementares. As mesmas operações que fizermos no lado esquerdo, faremos também no lado direito. Quando conseguirmos que o lado esquerdo vire a identidade, o lado direito será a inversa de .
Passo 4
Vamos começar fazendo com que os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Olhando para a segunda e terceira linhas já temos zeros na primeira coluna, então podemos focar na segunda coluna.
Primeiro, vamos subtrair a segunda linha da terceira linha para eliminar o 8 na terceira linha, segunda coluna:
Linha3 = Linha3 - Linha2
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 8, para que o elemento na diagonal principal seja 1:
Linha2 = Linha2 / 8
Passo 6
Agora, vamos eliminar o -2 na primeira linha, segunda coluna. Para isso, vamos adicionar 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
Passo 7
Por fim, vamos eliminar o termo na primeira linha, terceira coluna. Para isso, vamos adicionar vezes a terceira linha à primeira linha:
Linha1 = Linha1 + * Linha3
Passo 8
Por último, vamos ajustar a segunda linha para eliminar o na segunda linha, terceira coluna. Vamos adicionar vezes a terceira linha à segunda linha:
Linha2 = Linha2 + * Linha3
Agora, o lado esquerdo é a matriz identidade, então o lado direito é a inversa de .