(b) Calcular a inversa, para o caso k=0, usando operações elementares.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma matriz que depende de um parâmetro . Nosso trabalho aqui é calcular a inversa dessa matriz quando , usando operações elementares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar operações elementares em matrizes para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir A = 1 & -2 & 0 0 & 8 & -1 0 & 8 & 0 na matriz . Assim, a matriz fica:
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de [ccc|ccc 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 8 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 8 & 0 & 0 & 0 & 1 ] , vamos montar uma matriz aumentada com e a matriz identidade do mesmo tamanho:
Nossa meta é transformar o lado esquerdo dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações elementares. As mesmas operações que fizermos no lado esquerdo, faremos também no lado direito. Quando conseguirmos que o lado esquerdo vire a identidade, o lado direito será a inversa de .
Passo 4
Vamos começar fazendo com que os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Olhando para a segunda e terceira linhas já temos zeros na primeira coluna, então podemos focar na segunda coluna.
Primeiro, vamos subtrair a segunda linha da terceira linha para eliminar o 8 na terceira linha, segunda coluna:
Por fim, vamos eliminar o termo [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 14 0 & 1 & -18 & 0 & 18 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 ] na primeira linha, terceira coluna. Para isso, vamos adicionar vezes a terceira linha à primeira linha:
Linha1 = Linha1 + * Linha3
Passo 8
Por último, vamos ajustar a segunda linha para eliminar o [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 14 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 18 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 ] na segunda linha, terceira coluna. Vamos adicionar vezes a terceira linha à segunda linha:
Linha2 = Linha2 + * Linha3
Agora, o lado esquerdo é a matriz identidade, então o lado direito é a inversa de .
Resposta
A inversa da matriz A^-1 = 1 & 0 & 14 0 & 0 & 18 0 & -1 & 1 quando é: