Nos Itens (a)-(d), calcule o determinante, sabendo que
(d) |ccc-3 a & -3 b & -3 c d & e & f g-4 d & h-4 e & i-4 f|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes! A gente tem uma matriz original cujo determinante é -6 e precisamos calcular o determinante de uma matriz modificada. Para isso, vamos usar propriedades dos determinantes, como fatorar constantes e operações que não alteram o valor do determinante.
Passo 2
Primeiro, observamos que na matriz modificada, todos os elementos da primeira linha estão multiplicados por -3. Uma propriedade importante dos determinantes é que se você multiplicar todos os elementos de uma linha por um número, o determinante é multiplicado por esse número. Então, podemos fatorar o -3 dessa primeira linha para fora da matriz.
Passo 3
Depois de fatorar o -3, a matriz fica assim:
-3 times |ccc a & b & c d & e & f g-4d & h-4e & i-4f |
Agora, vamos olhar para a terceira linha da matriz modificada: , , . Isso significa que a terceira linha original teve 4 vezes a segunda linha subtraída dela. Uma propriedade dos determinantes diz que se você adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra, o determinante não muda. Assim, a operação na terceira linha não altera o valor do determinante.
Passo 4
Então, a matriz dentro do determinante agora é exatamente a matriz original:
|ccc a & b & c d & e & f g & h & i |
E a gente já sabe que o determinante dessa matriz é -6.
Passo 5
Agora, voltando ao que fatoramos no Passo 2, multiplicamos o determinante original por -3. Então, temos: