(2,0 pts) Sejam e W1=(lla & b c & d) ; a=d.e b=c e W2=(lla & b c & d) ; a=c.
(a) Determine b=d e W1 cap W2 e exiba seus respectivos geradores. Qual a dimensão de W1+W2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e , cada um definido por algumas condições específicas nos elementos das matrizes. A gente precisa encontrar a interseção , a soma , os geradores desses conjuntos e a dimensão de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, interseção e soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são a & b c & d e a & b c & d :
  • Aqui, cada matriz em tem e .
  • Aqui, cada matriz em tem e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção W1 cap W2 = k & k k & k ; ; ; k in R . Isso significa encontrar todas as matrizes que satisfazem ambas as condições de 1 & 1 1 & 1 e .
Das condições de :
E de :
Vamos igualar essas condições:
  1. De , sabemos que . De , , então .
  2. De , . De , . Como , então .
Então, todas as matrizes em têm . Ou seja:
O gerador desse conjunto é a matriz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a soma M1 = a & b b & a , M2 = c & d c & d . A soma de dois subespaços, M1 + M2 = a + c & b + d b + c & a + d , consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de W1 + W2 = x & y z & w ; ; ; x, y, z, w in R e uma matriz de 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 .
Seja e :
A soma é:
Vamos ver quais matrizes podemos obter dessa soma. Para isso, observamos os parâmetros livres . Podemos reescrever os elementos da matriz resultante em termos desses parâmetros:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
  • Terceiro elemento:
  • Quarto elemento:
Podemos escolher de forma que conseguimos expressar qualquer matriz 2x2, ou seja, pode gerar todas as matrizes 2x2. Portanto:
Os geradores desse espaço são as matrizes padrão:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em um conjunto gerador mínimo (ou seja, um conjunto de vetores lineares independentes que geram o espaço).
Como inclui todas as matrizes 2x2, e sabemos que essas matrizes formam um espaço de dimensão 4 (já que há 4 elementos independentes), a dimensão de é 4.

Resposta

k & k k & k é o conjunto de matrizes da forma 1 & 1 1 & 1 com 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , gerado por .
é o conjunto de todas as matrizes 2x2, gerado por
A dimensão de é 4.

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