(2,0 pts) Sejam e .e e .
(a) Determine e e exiba seus respectivos geradores. Qual a dimensão de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e , cada um definido por algumas condições específicas nos elementos das matrizes. A gente precisa encontrar a interseção , a soma , os geradores desses conjuntos e a dimensão de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, interseção e soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e :
Aqui, cada matriz em tem e .
Aqui, cada matriz em tem e .
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção . Isso significa encontrar todas as matrizes que satisfazem ambas as condições de e .
Das condições de :
E de :
Vamos igualar essas condições:
De , sabemos que . De , , então .
De , . De , . Como , então .
Então, todas as matrizes em têm . Ou seja:
O gerador desse conjunto é a matriz:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a soma . A soma de dois subespaços, , consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma matriz de .
Seja e :
A soma é:
Vamos ver quais matrizes podemos obter dessa soma. Para isso, observamos os parâmetros livres . Podemos reescrever os elementos da matriz resultante em termos desses parâmetros:
Primeiro elemento:
Segundo elemento:
Terceiro elemento:
Quarto elemento:
Podemos escolher de forma que conseguimos expressar qualquer matriz 2x2, ou seja, pode gerar todas as matrizes 2x2. Portanto:
Os geradores desse espaço são as matrizes padrão:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em um conjunto gerador mínimo (ou seja, um conjunto de vetores lineares independentes que geram o espaço).
Como inclui todas as matrizes 2x2, e sabemos que essas matrizes formam um espaço de dimensão 4 (já que há 4 elementos independentes), a dimensão de é 4.
Resposta
é o conjunto de matrizes da forma com , gerado por .