(2,0 pts) Sejam e .e e .
(a) Determine e e exiba seus respectivos geradores. Qual a dimensão de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e , cada um definido por algumas condições específicas nos elementos das matrizes. A gente precisa encontrar a interseção , a soma , os geradores desses conjuntos e a dimensão de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, interseção e soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • Aqui, cada matriz em tem e .
  • Aqui, cada matriz em tem e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção . Isso significa encontrar todas as matrizes que satisfazem ambas as condições de e .
Das condições de :
E de :
Vamos igualar essas condições:
  1. De , sabemos que . De , , então .
  2. De , . De , . Como , então .
Então, todas as matrizes em têm . Ou seja:
O gerador desse conjunto é a matriz:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a soma . A soma de dois subespaços, , consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma matriz de .
Seja e :
A soma é:
Vamos ver quais matrizes podemos obter dessa soma. Para isso, observamos os parâmetros livres . Podemos reescrever os elementos da matriz resultante em termos desses parâmetros:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
  • Terceiro elemento:
  • Quarto elemento:
Podemos escolher de forma que conseguimos expressar qualquer matriz 2x2, ou seja, pode gerar todas as matrizes 2x2. Portanto:
Os geradores desse espaço são as matrizes padrão:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em um conjunto gerador mínimo (ou seja, um conjunto de vetores lineares independentes que geram o espaço).
Como inclui todas as matrizes 2x2, e sabemos que essas matrizes formam um espaço de dimensão 4 (já que há 4 elementos independentes), a dimensão de é 4.

Resposta

é o conjunto de matrizes da forma com , gerado por .
é o conjunto de todas as matrizes 2x2, gerado por
A dimensão de é 4.

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uma volta completa a partir do ponto ;
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(a) Determinar, para quais valores reais de a matriz é invertível.
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
(2,0 pts) Seja
(a) Verifique se é subespaço vetorial de .