(2,0 pts) Sejam e
.e
e
.
(a) Determine
e
e exiba seus respectivos geradores. Qual a dimensão de
?
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados
e
, cada um definido por algumas condições específicas nos elementos das matrizes. A gente precisa encontrar a interseção
, a soma
, os geradores desses conjuntos e a dimensão de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços vetoriais, interseção e soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
:
-
Aqui, cada matriz em
tem e . -
Aqui, cada matriz em
tem e .
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção
. Isso significa encontrar todas as matrizes que satisfazem ambas as condições de
e
.
Das condições de
:
E de
:
Vamos igualar essas condições:
- De
, sabemos que . De , , então . - De
, . De , . Como , então .
Então, todas as matrizes em
têm
. Ou seja:
O gerador desse conjunto é a matriz:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a soma
. A soma de dois subespaços,
, consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de
e uma matriz de
.
Seja
e
:
A soma
é:
Vamos ver quais matrizes podemos obter dessa soma. Para isso, observamos os parâmetros livres
. Podemos reescrever os elementos da matriz resultante em termos desses parâmetros:
- Primeiro elemento:
- Segundo elemento:
- Terceiro elemento:
- Quarto elemento:
Podemos escolher
de forma que conseguimos expressar qualquer matriz 2x2, ou seja,
pode gerar todas as matrizes 2x2. Portanto:
Os geradores desse espaço são as matrizes padrão:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em um conjunto gerador mínimo (ou seja, um conjunto de vetores lineares independentes que geram o espaço).
Como
inclui todas as matrizes 2x2, e sabemos que essas matrizes formam um espaço de dimensão 4 (já que há 4 elementos independentes), a dimensão de
é 4.
Resposta
A dimensão de
é 4.