Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
uma volta completa a partir do ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move numa circunferência definida por . Isso significa que a partícula está se movendo em um círculo de raio 3, começando no ponto (0, 3) e indo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como descrever o movimento circular com fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer círculo centrado na origem com raio , as equações paramétricas são dadas por:
Aqui, geralmente representa o ângulo que a posição da partícula faz com o eixo positivo x, e conforme aumenta, a partícula se move no sentido anti-horário.
Passo 3
No nosso caso, o raio é 3, então substituindo na fórmula:
Mas precisamos ajustar para garantir que, no instante inicial , a partícula esteja no ponto (0, 3). Observando nossas equações atuais, quando :
Isso nos coloca no ponto (3, 0), então precisamos girar nosso ângulo para que comece no ponto (0, 3). Isso pode ser feito adiando o ângulo em radianos, já que e .
Passo 4
Então, ajustando as equações:
Dessa forma, quando :
Parece que ainda não estamos no ponto certo. Precisamos ajustar o sinal para que seja positivo no início. Então, vamos inverter o sinal de :
Passo 5
Finalizando, temos as equações paramétricas corretas que começam no ponto (0, 3) e se movem no sentido anti-horário: