Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
uma volta completa a partir do ponto
;
uma volta completa a partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move numa circunferência definida por
. Isso significa que a partícula está se movendo em um círculo de raio 3, começando no ponto (0, 3) e indo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como descrever o movimento circular com fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer círculo centrado na origem com raio
, as equações paramétricas são dadas por:
Aqui,
geralmente representa o ângulo que a posição da partícula faz com o eixo positivo x, e conforme
aumenta, a partícula se move no sentido anti-horário.
Passo 3
No nosso caso, o raio
é 3, então substituindo na fórmula:
Mas precisamos ajustar para garantir que, no instante inicial
, a partícula esteja no ponto (0, 3). Observando nossas equações atuais, quando
:
Isso nos coloca no ponto (3, 0), então precisamos girar nosso ângulo para que comece no ponto (0, 3). Isso pode ser feito adiando o ângulo em
radianos, já que
e
.
Passo 4
Então, ajustando as equações:
Dessa forma, quando
:
Parece que ainda não estamos no ponto certo. Precisamos ajustar o sinal para que
seja positivo no início. Então, vamos inverter o sinal de
:
Passo 5
Finalizando, temos as equações paramétricas corretas que começam no ponto (0, 3) e se movem no sentido anti-horário:
Resposta
As equações paramétricas são: