Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2+y^2=9, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
uma volta completa a partir do ponto (0,3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move numa circunferência definida por . Isso significa que a partícula está se movendo em um círculo de raio 3, começando no ponto (0, 3) e indo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como descrever o movimento circular com fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer círculo centrado na origem com raio x(t) = r cdot cos(t) , as equações paramétricas são dadas por:
y(t) = r cdot sin(t)
Aqui, geralmente representa o ângulo que a posição da partícula faz com o eixo positivo x, e conforme aumenta, a partícula se move no sentido anti-horário.

Passo 3

No nosso caso, o raio x(t) = 3 cdot cos(t) é 3, então substituindo na fórmula:
y(t) = 3 cdot sin(t)
x(0) = 3 cdot cos(0) = 3
Mas precisamos ajustar para garantir que, no instante inicial y(0) = 3 cdot sin(0) = 0 , a partícula esteja no ponto (0, 3). Observando nossas equações atuais, quando :
Isso nos coloca no ponto (3, 0), então precisamos girar nosso ângulo para que comece no ponto (0, 3). Isso pode ser feito adiando o ângulo em radianos, já que e .

Passo 4

Então, ajustando as equações:
x(t) = 3 cdot cos(t - pi2) = 3 cdot sin(t)
y(t) = 3 cdot sin(t - pi2) = -3 cdot cos(t)
Dessa forma, quando x(0) = 3 cdot sin(0) = 0 :
y(0) = -3 cdot cos(0) = -3
y(t) = 3 cdot cos(t)
Parece que ainda não estamos no ponto certo. Precisamos ajustar o sinal para que seja positivo no início. Então, vamos inverter o sinal de :

Passo 5

Finalizando, temos as equações paramétricas corretas que começam no ponto (0, 3) e se movem no sentido anti-horário:
x(t) = 3 cdot sin(t)
y(t) = 3 cdot cos(t)

Resposta

As equações paramétricas são:
x(t) = 3, sin(t)
y(t) = 3, cos(t)

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