Reduza as matrizes à forma escada por linhas e o seu posto e nulidade.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa reduzi-la para a forma escada por linhas. Depois disso, vamos descobrir o posto e a nulidade dessa matriz. Para isso, vamos precisar usar algumas técnicas de operações elementares de linhas. Essas operações nos ajudam a simplificar a matriz passo a passo até chegar na forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente tem:
Nosso objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento não nulo de cada linha, que chamamos de elemento pivô.
Passo 3
Vamos começar trocando a primeira linha com a segunda, porque o primeiro elemento da segunda linha é 2, que facilita nas operações:
Passo 4
Agora, queremos zerar o primeiro elemento da terceira linha. Para isso, vamos subtrair a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Seguimos para o segundo pivô, que agora é o 1 na segunda linha, segunda coluna. Vamos zerar o elemento abaixo dele na terceira linha. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 6
Agora, nossa matriz está na forma escada por linhas. Vamos dar uma olhada nela:
Passo 7
Para encontrar o posto da matriz, contamos o número de linhas não nulas na forma escada. Aqui, temos 2 linhas não nulas, então o posto é 2.
Já a nulidade é dada pela diferença entre o número de colunas e o posto. Nossa matriz tem 4 colunas, então: