Seja S subset R^3 um subespaço vetorial definido por S=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0. Determine
a) Uma base B de S;
ท) Uma base D de S^perp S^perp=v+v:lang<= v, murang<==0 forall mu in S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um subespaço de definido por . Nosso objetivo é encontrar:
a) Uma base para ;
b) Uma base para o complemento ortogonal de , que chamamos de .
Vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial, base de um subespaço e complemento ortogonal. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, para encontrar uma base de z = -x - y , precisamos entender que (x, y, z) = (x, y, -x - y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1) é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito em termos de dois parâmetros, já que temos uma equação linear envolvendo três variáveis.
Vamos resolver a equação para expressar, por exemplo, em função de e :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear de e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os vetores a(1, 0, -1) + b(0, 1, -1) = (0, 0, 0) e a = 0 b = 0 - a - b = 0 são linearmente independentes. Se forem, eles formarão uma base para .
Para verificar a independência, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso dá o sistema de equações:
A única solução é e , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Então, concluímos que é uma base para . Isso significa que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear desses dois vetores, e eles são os ‘blocos de construção’ do subespaço .

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: encontrar uma base para o complemento ortogonal S^perp = v in R^3 ; lang<= v, mu rang<= = 0 para todo mu in S . O complemento ortogonal de consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Ou seja:
Onde representa o produto interno padrão em .

Passo 6

Para encontrar lang<= v, (1, 0, -1) rang<= = 0 e lang<= v, (0, 1, -1) rang<= = 0 , precisamos achar todos os vetores 1 cdot a + 0 cdot b + (-1) cdot c = a - c = 0 0 cdot a + 1 cdot b + (-1) cdot c = b - c = 0 que satisfazem:
a - c = 0 b - c = 0
Calculando os produtos internos:
a = c b = c
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 7

Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor . Portanto, é uma linha que passa pela origem na direção de .

Resposta

a) Uma base para é ( {, (1,,0,,-1),\ (0,,1,,-1) }\ );
b) Uma base para é ( {, (1,,1,,1) }\ ).

Exercícios relacionados