Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^2, A^3 e A^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde a gente precisa calcular as potências da matriz 1 & 0 1 & 1. Isso significa que vamos encontrar , e . Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, que é uma parte fundamental da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e soma os produtos correspondentes.

Passo 3

Vamos multiplicar A^2 = A times A = 1 & 0 1 & 1 times 1 & 0 1 & 1 por :

Passo 4

Calculando cada elemento de 1 times 1 + 0 times 1 = 1 :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
1 times 0 + 0 times 1 = 0
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
1 times 1 + 1 times 1 = 2
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
1 times 0 + 1 times 1 = 1
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):

Passo 5

Então, A^2 = 1 & 0 2 & 1 fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = 1 & 0 2 & 1 times 1 & 0 1 & 1 . Isso significa multiplicar por :

Passo 7

Calculando cada elemento de 1 times 1 + 0 times 1 = 1 :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
1 times 0 + 0 times 1 = 0
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
2 times 1 + 1 times 1 = 3
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
2 times 0 + 1 times 1 = 1
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):

Passo 8

Portanto, A^3 = 1 & 0 3 & 1 é:

Passo 9

Finalmente, vamos calcular A^4 = A^3 times A = 1 & 0 3 & 1 times 1 & 0 1 & 1 multiplicando por :

Passo 10

Calculando cada elemento de 1 times 1 + 0 times 1 = 1 :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
1 times 0 + 0 times 1 = 0
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
3 times 1 + 1 times 1 = 4
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
3 times 0 + 1 times 1 = 1
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):

Resposta

As potências da matriz A^2 = 1 & 0 2 & 1, A^3 = 1 & 0 3 & 1, A^4 = 1 & 0 4 & 1 são:

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