Considere os vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,3,3).
Determine o cosseno do ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e queremos descobrir o cosseno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 2

Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = u cdot v||u|| times ||v||
Isso significa que precisamos calcular o produto escalar dos vetores e , e também as normas (comprimentos) de cada vetor.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2 + u3 times v3 . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
u cdot v = (1 times 0) + (0 times 3) + (-1 times 3) = 0 + 0 - 3 = -3
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor ||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 é dada por:
||u|| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Primeiro, para ||v|| = raiz0^2 + 3^2 + 3^2 = raiz0 + 9 + 9 = raiz18 = 3raiz2 :
Em seguida, para :

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as normas dos vetores, podemos substituir na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = -3raiz2 times 3raiz2 = -33 times 2 = -36 = -12

Resposta

O cosseno do ângulo entre os vetores e é .

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