Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2).
Calcule:
(b) |\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|

Passo 1

Beleza, então o exercício nos dá quatro pontos no espaço: A=(1, 0, 2), B=(-1, 1, 1), C=(0, 1, -1) e D=(2, 0, -2). A gente precisa calcular a norma (ou seja, o comprimento) do produto vetorial entre os vetores AB e AC. Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores entre pontos, fazer o produto vetorial desses vetores e, por fim, encontrar a magnitude desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC. Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C, respectivamente.
Então:
AB = B - A = (-1 - 1, 1 - 0, 1 - 2) = (-2, 1, -1)
AC = C - A = (0 - 1, 1 - 0, -1 - 2) = (-1, 1, -3)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial de dois vetores u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) e AB times AC = i & j & k -2 & 1 & -1 -1 & 1 & -3 = ( (1)(-3) - (-1)(1), (-1)(-1) - (-2)(-3), (-2)(1) - (1)(-1) ) é dado por:
= (-3 + 1, 1 - 6, -2 + 1) = (-2, -5, -1)
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante. A magnitude de um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é dada por:
|AB times AC| = raiz(-2)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 25 + 1 = raiz30
Aplicando isso ao vetor :

Resposta

A magnitude do produto vetorial é .

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