Sejam P=\left(x_{0}, y_{0}\right) e Q=\left(x_{1}, y_{1}\right).
(b) Faça um esboço no plano cartesiano do conjunto R dado por
onde D é a distância Manhattan.
(b) Faça um esboço no plano cartesiano do conjunto R dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço no plano cartesiano do conjunto
, que é definido pelos pontos
cuja distância Manhattan até a origem
é igual a 1. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a distância Manhattan, para entender e desenhar esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distância Manhattan. Diferente da distância Euclidiana, que é a “distância direta” entre dois pontos, a distância Manhattan
entre dois pontos
e
é dada por:
No nosso caso, queremos a distância Manhattan entre
e
ser igual a 1:
Passo 3
Agora, vamos entender quais pontos
satisfazem a equação
. Vamos analisar diferentes casos com base nos sinais de
e
:
- Ambos positivos (
, ):
-
, :
-
, :
- Ambos negativos (
, ):
Passo 4
Com essas equações, podemos desenhar as linhas correspondentes em cada quadrante do plano cartesiano:
- No primeiro quadrante, a linha vai de
a . - No segundo quadrante, de
a . - No terceiro quadrante, de
a . - No quarto quadrante, de
a .
Passo 5
Ao juntar essas quatro linhas, formamos um polígono que parece um losango (ou diamante) centrado na origem, com vértices em
,
,
e
. Esse é o esboço do conjunto
no plano cartesiano usando a distância Manhattan.
Resposta
O conjunto
é representado no plano cartesiano por um losango com vértices nos pontos
,
,
e
, formando um esboço que reflete a condição
sob a distância Manhattan.