Sejam P=\left(x_{0}, y_{0}\right) e Q=\left(x_{1}, y_{1}\right).
(b) Faça um esboço no plano cartesiano do conjunto R dado por
onde D é a distância Manhattan.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço no plano cartesiano do conjunto , que é definido pelos pontos cuja distância Manhattan até a origem é igual a 1. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a distância Manhattan, para entender e desenhar esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distância Manhattan. Diferente da distância Euclidiana, que é a “distância direta” entre dois pontos, a distância Manhattan entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, queremos a distância Manhattan entre e ser igual a 1:
Passo 3
Agora, vamos entender quais pontos satisfazem a equação . Vamos analisar diferentes casos com base nos sinais de e :
Ambos positivos (, ):
, :
, :
Ambos negativos (, ):
Passo 4
Com essas equações, podemos desenhar as linhas correspondentes em cada quadrante do plano cartesiano:
No primeiro quadrante, a linha vai de a .
No segundo quadrante, de a .
No terceiro quadrante, de a .
No quarto quadrante, de a .
Passo 5
Ao juntar essas quatro linhas, formamos um polígono que parece um losango (ou diamante) centrado na origem, com vértices em , , e . Esse é o esboço do conjunto no plano cartesiano usando a distância Manhattan.
Resposta
O conjunto é representado no plano cartesiano por um losango com vértices nos pontos , , e , formando um esboço que reflete a condição sob a distância Manhattan.