Sejam P=\left(x_{0}, y_{0}\right) e Q=\left(x_{1}, y_{1}\right).
(b) Faça um esboço no plano cartesiano do conjunto R dado por
R=(x, y) in R^2: D((x, y),(0,0))=1
onde D é a distância Manhattan.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço no plano cartesiano do conjunto , que é definido pelos pontos cuja distância Manhattan até a origem é igual a 1. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a distância Manhattan, para entender e desenhar esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distância Manhattan. Diferente da distância Euclidiana, que é a “distância direta” entre dois pontos, a distância Manhattan D((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 - x2| + |y1 - y2| entre dois pontos |x - 0| + |y - 0| = 1 Rightarrow |x| + |y| = 1 e é dada por:
No nosso caso, queremos a distância Manhattan entre e ser igual a 1:

Passo 3

Agora, vamos entender quais pontos x + y = 1 Rightarrow y = 1 - x satisfazem a equação x - y = 1 Rightarrow y = x - 1 . Vamos analisar diferentes casos com base nos sinais de -x + y = 1 Rightarrow y = 1 + x e -x - y = 1 Rightarrow y = -x - 1 :
  1. Ambos positivos ( , ):
  1. , :
  1. , :
  1. Ambos negativos ( , ):

Passo 4

Com essas equações, podemos desenhar as linhas correspondentes em cada quadrante do plano cartesiano:
  • No primeiro quadrante, a linha vai de a .
  • No segundo quadrante, de a .
  • No terceiro quadrante, de a .
  • No quarto quadrante, de a .

Passo 5

Ao juntar essas quatro linhas, formamos um polígono que parece um losango (ou diamante) centrado na origem, com vértices em , , e . Esse é o esboço do conjunto no plano cartesiano usando a distância Manhattan.

Resposta

O conjunto é representado no plano cartesiano por um losango com vértices nos pontos , , e , formando um esboço que reflete a condição sob a distância Manhattan.

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