Encontre a equação do plano que contém o ponto M=(2,1,3) e que é perpendicular à reta r: x2=y-13=-z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto M=(2,1,3) e que é perpendicular à reta r: x2=y-13=-z. Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos identificar o vetor diretor da reta e utilizá-lo como vetor normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r: x2=y-13=-z. Essa expressão nos dá o vetor diretor da reta. Observando os coeficientes, o vetor diretor v da reta é (2, 3, -1). Isso porque cada parte da igualdade corresponde a uma direção no espaço.

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta r, o vetor diretor da reta será o vetor normal n do plano. Então, temos n = (2, 3, -1). O vetor normal é importante porque ele define a orientação do plano no espaço.

Passo 4

Agora, para encontrar a equação do plano, usamos a fórmula geral:
n cdot (r - r0) = 0
Onde:
  • n é o vetor normal (2, 3, -1),
  • r = (x, y, z) são as coordenadas genéricas de um ponto no plano,
  • r0 é o ponto conhecido no plano M=(2,1,3).
Aplicando a fórmula:
2(x - 2) + 3(y - 1) -1(z - 3) = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
2x - 4 + 3y - 3 - z + 3 = 0
Somando os termos constantes:
2x + 3y - z -4 = 0
Podemos reescrever em forma padrão:
2x + 3y - z = 4

Resposta

A equação do plano é 2x + 3y - z = 4.

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