Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
a) lx+2 y-z-1=0 x+y+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que é a interseção de dois planos. Para isso, vamos usar um pouco de Álgebra Linear, especificamente o método de resolver sistemas de equações para encontrar os pontos que satisfazem ambos os planos. Vamos precisar manipular as equações dos planos para chegar na equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações dos planos que foram dadas:
x + 2y - z - 1 = 0 (Plano 1) x + y + 1 = 0 (Plano 2)

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma equação que descreva a reta onde esses dois planos se cruzam. Para isso, vamos resolver o sistema de equações para duas variáveis e deixar a terceira variável (geralmente z) como parâmetro.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, podemos isolar uma variável em uma das equações. Vamos usar a equação do Plano 2 para isolar x + y + 1 = 0 implies x = -y - 1 :

Passo 5

Agora que temos (-y - 1) + 2y - z - 1 = 0 em termos de -y - 1 + 2y - z - 1 = 0 implies y - z - 2 = 0 implies y = z + 2 , vamos substituir esse valor na equação do Plano 1:
Simplificando:

Passo 6

Agora temos z = t em termos de y = t + 2 . Vamos deixar x = -(t + 2) - 1 = -t - 3 como o parâmetro . Assim:
Então:
E lembrando que :

Passo 7

Agora, podemos escrever a equação da reta em forma paramétrica usando o parâmetro x = -t - 3 y = t + 2 z = t :

Resposta

A equação da reta de interseção dos planos é dada parametricamente por:
x = -t - 3 y = t + 2 z = t
Onde é um parâmetro real.

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