Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que é a interseção de dois planos. Para isso, vamos usar um pouco de Álgebra Linear, especificamente o método de resolver sistemas de equações para encontrar os pontos que satisfazem ambos os planos. Vamos precisar manipular as equações dos planos para chegar na equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações dos planos que foram dadas:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma equação que descreva a reta onde esses dois planos se cruzam. Para isso, vamos resolver o sistema de equações para duas variáveis e deixar a terceira variável (geralmente z) como parâmetro.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, podemos isolar uma variável em uma das equações. Vamos usar a equação do Plano 2 para isolar :
Passo 5
Agora que temos em termos de , vamos substituir esse valor na equação do Plano 1:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos em termos de . Vamos deixar como o parâmetro . Assim:
Então:
E lembrando que :
Passo 7
Agora, podemos escrever a equação da reta em forma paramétrica usando o parâmetro :
Resposta
A equação da reta de interseção dos planos é dada parametricamente por: