Usando o produto interno em , determinar o produto escalar de:
a) e .
Solução
a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . O que isso significa? Basicamente, é uma forma de “multiplicar” dois polinômios para obter um número real. Neste caso, o produto interno é definido por:
O nosso objetivo é calcular o produto interno entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos que multiplicar os dois polinômios e , e depois integrar o resultado de até .
Então, vamos começar multiplicando por :

Passo 3

Agora, temos que integrar essa expressão de a :
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de :
Avaliada de 0 a 1:

Passo 5

Agora, a integral de :
Avaliada de 0 a 1:

Passo 6

Voltando à expressão original, subtraímos as duas integrais que calculamos:

Resposta

O produto interno de e é:

Exercícios relacionados

Considere a matriz .
b) Encontre os autovetores de .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(e) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.
Seja um espaço vetorial sobre . Ponhamos por definição . Verificar se ( é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) ;
(b) e ©: exercício.
(d) , então obviamente vale esta condição; se existe em V , então temos com , o que mostra que , não define um produto interno sobre .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(d) O conjunto , com operações usuais, é um espaço vetorial.