Usando o produto interno em , determinar o produto escalar de:
a) e .
Solução
a) =12-14=12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 f(t) g(t) , dt . O que isso significa? Basicamente, é uma forma de “multiplicar” dois polinômios para obter um número real. Neste caso, o produto interno é definido por:
O nosso objetivo é calcular o produto interno entre e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos que multiplicar os dois polinômios f(t) cdot g(t) = t cdot (1 - t^2) = t - t^3 e , e depois integrar o resultado de até .
Então, vamos começar multiplicando por :
Passo 3
Agora, temos que integrar essa expressão de lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 (t - t^3) , dt a integral0^1 t , dt - integral0^1 t^3 , dt :
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de integral t , dt = t^22 + C :
t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12
Avaliada de 0 a 1:
Passo 5
Agora, a integral de integral t^3 , dt = t^44 + C :
t^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 - 0 = 14
Avaliada de 0 a 1:
Passo 6
Voltando à expressão original, subtraímos as duas integrais que calculamos:
lang<= f(t), g(t)rang<= = 12 - 14 = 14
Resposta
O produto interno de lang<= f(t), g(t)rang<= = 14 e é: