Usando o produto interno lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t em P2(R), determinar o produto escalar de:
a) f(t)=t e g(t)=1-t^2.
Solução
a) lang<=f(t), g(t)rang<==integral0^1 t(1-t^2) dt=integral0^1(t-t^3) dt=(t^22-t^44)|0 ^1= =12-14=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 f(t) g(t) , dt . O que isso significa? Basicamente, é uma forma de “multiplicar” dois polinômios para obter um número real. Neste caso, o produto interno é definido por:
O nosso objetivo é calcular o produto interno entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos que multiplicar os dois polinômios f(t) cdot g(t) = t cdot (1 - t^2) = t - t^3 e , e depois integrar o resultado de até .
Então, vamos começar multiplicando por :

Passo 3

Agora, temos que integrar essa expressão de lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 (t - t^3) , dt a integral0^1 t , dt - integral0^1 t^3 , dt :
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de integral t , dt = t^22 + C :
t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12
Avaliada de 0 a 1:

Passo 5

Agora, a integral de integral t^3 , dt = t^44 + C :
t^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 - 0 = 14
Avaliada de 0 a 1:

Passo 6

Voltando à expressão original, subtraímos as duas integrais que calculamos:
lang<= f(t), g(t)rang<= = 12 - 14 = 14

Resposta

O produto interno de lang<= f(t), g(t)rang<= = 14 e é:

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