Usando o produto interno em , determinar o produto escalar de:
a) e .
Solução
a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . O que isso significa? Basicamente, é uma forma de “multiplicar” dois polinômios para obter um número real. Neste caso, o produto interno é definido por:
O nosso objetivo é calcular o produto interno entre e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos que multiplicar os dois polinômios e , e depois integrar o resultado de até .
Então, vamos começar multiplicando por :
Passo 3
Agora, temos que integrar essa expressão de a :
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de :
Avaliada de 0 a 1:
Passo 5
Agora, a integral de :
Avaliada de 0 a 1:
Passo 6
Voltando à expressão original, subtraímos as duas integrais que calculamos: