Seja
um espaço vetorial sobre
. Ponhamos por definição
. Verificar se (
é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a)
;
(b) e ©: exercício.
(d)
, então obviamente vale esta condição; se existe
em V , então temos
com
, o que mostra que
, não define um produto interno sobre
.
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a)
(b) e ©: exercício.
(d)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função que associa a qualquer par de vetores
e
em um espaço vetorial
sobre
o valor
é um produto interno. Estamos lidando com produto interno, que é um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos checar se essa função satisfaz as quatro propriedades que definem um produto interno.
Passo 2
Primeira Propriedade: Linearidade no Primeiro Argumento
A linearidade no primeiro argumento significa que para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, a seguinte igualdade deve valer:
Vamos testar isso com a nossa definição:
E também:
Portanto, a propriedade de linearidade no primeiro argumento é satisfeita.
Passo 3
Segunda Propriedade: Homogeneidade em relação ao Escalar
A homogeneidade diz que para qualquer vetor
e escalar
:
Vamos verificar:
E:
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 4
Terceira Propriedade: Simetria
A simetria exige que para quaisquer vetores
:
No nosso caso:
Claramente,
, então a simetria está ok.
Passo 5
Quarta Propriedade: Positividade Definida
Essa é a última e crucial propriedade. Ela afirma que para qualquer vetor
:
E, além disso,
se e somente se
.
Vamos verificar:
Isso nos diz que toda combinação interna de um vetor consigo mesmo é zero, independente de
ser o vetor nulo ou não. Isso viola a condição de que
sempre que
.
Resposta
Não, a função
não define um produto interno sobre
, pois não satisfaz a propriedade de positividade definida, exceto no caso trivial em que
contém apenas o vetor zero.