Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função que associa a qualquer par de vetores e em um espaço vetorial sobre o valor é um produto interno. Estamos lidando com produto interno, que é um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos checar se essa função satisfaz as quatro propriedades que definem um produto interno.
Passo 2
Primeira Propriedade: Linearidade no Primeiro Argumento
A linearidade no primeiro argumento significa que para quaisquer vetores e qualquer escalar , a seguinte igualdade deve valer:
Vamos testar isso com a nossa definição:
E também:
Portanto, a propriedade de linearidade no primeiro argumento é satisfeita.
Passo 3
Segunda Propriedade: Homogeneidade em relação ao Escalar
A homogeneidade diz que para qualquer vetor e escalar :
Vamos verificar:
E:
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 4
Terceira Propriedade: Simetria
A simetria exige que para quaisquer vetores :
No nosso caso:
Claramente, , então a simetria está ok.
Passo 5
Quarta Propriedade: Positividade Definida
Essa é a última e crucial propriedade. Ela afirma que para qualquer vetor :
E, além disso, se e somente se .
Vamos verificar:
Isso nos diz que toda combinação interna de um vetor consigo mesmo é zero, independente de ser o vetor nulo ou não. Isso viola a condição de que sempre que .
Resposta
Não, a função não define um produto interno sobre , pois não satisfaz a propriedade de positividade definida, exceto no caso trivial em que contém apenas o vetor zero.