Seja V um espaço vetorial sobre R. Ponhamos por definição lang<= u, v>=0, forall u, v in v. Verificar se ( u, v) mapstolang<= u, vrang<==0 é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) lang<=u+v, wrang<==0=0+0=lang<=u, wrang<=+lang<=v, wrang<=;
(b) e ©: exercício.
(d) Se V=o, então obviamente vale esta condição; se existe u neq o em V , então temos lang<=u, urang<==0 com u neq o, o que mostra que lang<=u, vrang<==0, forall u, v in V, não define um produto interno sobre V.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função que associa a qualquer par de vetores e em um espaço vetorial sobre o valor é um produto interno. Estamos lidando com produto interno, que é um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos checar se essa função satisfaz as quatro propriedades que definem um produto interno.

Passo 2

Primeira Propriedade: Linearidade no Primeiro Argumento
A linearidade no primeiro argumento significa que para quaisquer vetores lang<= u + v, w rang<= = lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= e qualquer escalar lang<= u + v, w rang<= = 0 (pelo enunciado) , a seguinte igualdade deve valer:
lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= = 0 + 0 = 0
Vamos testar isso com a nossa definição:
E também:
Portanto, a propriedade de linearidade no primeiro argumento é satisfeita.

Passo 3

Segunda Propriedade: Homogeneidade em relação ao Escalar
A homogeneidade diz que para qualquer vetor lang<= a u, v rang<= = a lang<= u, v rang<= e escalar lang<= a u, v rang<= = 0 (pelo enunciado) :
a lang<= u, v rang<= = a times 0 = 0
Vamos verificar:
E:
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 4

Terceira Propriedade: Simetria
A simetria exige que para quaisquer vetores lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= :
lang<= u, v rang<= = 0 e lang<= v, u rang<= = 0
No nosso caso:
Claramente, , então a simetria está ok.

Passo 5

Quarta Propriedade: Positividade Definida
Essa é a última e crucial propriedade. Ela afirma que para qualquer vetor lang<= u, u rang<= >= 0 :
lang<= u, u rang<= = 0 para todo u in V
E, além disso, se e somente se .
Vamos verificar:
Isso nos diz que toda combinação interna de um vetor consigo mesmo é zero, independente de ser o vetor nulo ou não. Isso viola a condição de que sempre que .

Resposta

Não, a função não define um produto interno sobre , pois não satisfaz a propriedade de positividade definida, exceto no caso trivial em que contém apenas o vetor zero.

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