Seja um espaço vetorial sobre . Ponhamos por definição . Verificar se ( é um produto interno sobre V .
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) ;
(b) e ©: exercício.
(d) , então obviamente vale esta condição; se existe em V , então temos com , o que mostra que , não define um produto interno sobre .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função que associa a qualquer par de vetores e em um espaço vetorial sobre o valor é um produto interno. Estamos lidando com produto interno, que é um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos checar se essa função satisfaz as quatro propriedades que definem um produto interno.

Passo 2

Primeira Propriedade: Linearidade no Primeiro Argumento
A linearidade no primeiro argumento significa que para quaisquer vetores e qualquer escalar , a seguinte igualdade deve valer:
Vamos testar isso com a nossa definição:
E também:
Portanto, a propriedade de linearidade no primeiro argumento é satisfeita.

Passo 3

Segunda Propriedade: Homogeneidade em relação ao Escalar
A homogeneidade diz que para qualquer vetor e escalar :
Vamos verificar:
E:
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 4

Terceira Propriedade: Simetria
A simetria exige que para quaisquer vetores :
No nosso caso:
Claramente, , então a simetria está ok.

Passo 5

Quarta Propriedade: Positividade Definida
Essa é a última e crucial propriedade. Ela afirma que para qualquer vetor :
E, além disso, se e somente se .
Vamos verificar:
Isso nos diz que toda combinação interna de um vetor consigo mesmo é zero, independente de ser o vetor nulo ou não. Isso viola a condição de que sempre que .

Resposta

Não, a função não define um produto interno sobre , pois não satisfaz a propriedade de positividade definida, exceto no caso trivial em que contém apenas o vetor zero.

Exercícios relacionados

Usando o produto interno em , determinar o produto escalar de:
a) e .
Solução
a) .
Considere a matriz .
b) Encontre os autovetores de .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(d) O conjunto , com operações usuais, é um espaço vetorial.
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
(f) , com as operações usuais, é um espaço vetorial.