Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(d) 10 y-4 z+w & =1 x+4 y-z+w & =2 3 x+2 y+z+2 w & =5 -2 x-8 y+2 z-2 w & =-4 x-6 y+3 z & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação gaussiana, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as variáveis passo a passo. A gente tem 5 equações com 4 incógnitas: , , e . Nosso objetivo é organizar essas equações de forma que possamos eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de todas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações necessárias. A matriz aumentada fica assim:
0 & 10 & -4 & 1 & | & 1 1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 3 & 2 & 1 & 2 & | & 5 -2 & -8 & 2 & -2 & | & -4 1 & -6 & 3 & 0 & | & 1

Passo 3

O próximo passo é reorganizar a matriz para que o primeiro elemento da primeira linha seja diferente de zero. Se não for, trocamos as linhas. No nosso caso, a primeira linha já tem um zero na primeira posição, então vamos trocar com a segunda linha, que tem um 1 na primeira posição. Isso facilita as operações futuras.
1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & 10 & -4 & 1 & | & 1 3 & 2 & 1 & 2 & | & 5 -2 & -8 & 2 & -2 & | & -4 1 & -6 & 3 & 0 & | & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar a variável 3x + 2y + z + 2w - (3x + 12y -3z +3w) = 5 - 6 Rightarrow -10y +4z -w = -1 das outras linhas usando a primeira linha. Para isso, subtraímos múltiplos da primeira linha das demais:
  • Linha 3: -2x -8y +2z -2w + (2x +8y -2z +2w) = -4 +4 Rightarrow 0 = 0 menos x -6y +3z - (x +4y -z +w) =1 -2 Rightarrow -10y +4z -w = -1 Linha 1:
    1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & 10 & -4 & 1 & | & 1 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1
  • Linha 4: mais Linha 1:
  • Linha 5: menos Linha 1:
A matriz agora fica:

Passo 5

Percebemos que a Linha 3 e a Linha 5 são iguais, e a Linha 4 é uma equação redundante (sempre verdadeira). Então, podemos remover a Linha 5 para simplificar:
1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & 10 & -4 & 1 & | & 1 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos focar nas linhas 2 e 3 para eliminar a variável 10y -4z +w + (-10y +4z -w) =1 + (-1) Rightarrow 0 =0 . Somando a Linha 2 e a Linha 3:
Isso significa que não temos informações adicionais, indicando que uma das variáveis é livre. Vamos escolher como variável livre.

Passo 7

Vamos expressar 10y -4z +w =1 Rightarrow 10y =1 +4z -w Rightarrow y = 110 + 410z - 110w em termos de usando a Linha 2:

Passo 8

Agora, vamos usar a Linha 1 para expressar x +4y -z +w =2 Rightarrow x =2 -4y +z -w em termos de x =2 -4(110 + 410z - 110w) +z -w =2 -410 - 1610z + 410w +z -w , x = 2010 - 410 + (-1610 + 1010)z + (410 - 1010)w = 1610 - 610z - 610w e x = 85 - 35z - 35w :
Substituindo pela expressão encontrada:
Simplificando:

Passo 9

Agora temos as expressões para e em termos de e , que são variáveis livres. Podemos escolher valores para e para gerar soluções específicas ou expressar a solução geral em termos dessas variáveis livres.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = dfrac85 - dfrac35z - dfrac35w y = dfrac110 + dfrac410z - dfrac110w z = z (variável livre) w = w (variável livre) áá
Onde e podem assumir quaisquer valores reais.

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