Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação gaussiana, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as variáveis passo a passo. A gente tem 5 equações com 4 incógnitas: , , e . Nosso objetivo é organizar essas equações de forma que possamos eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de todas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações necessárias. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
O próximo passo é reorganizar a matriz para que o primeiro elemento da primeira linha seja diferente de zero. Se não for, trocamos as linhas. No nosso caso, a primeira linha já tem um zero na primeira posição, então vamos trocar com a segunda linha, que tem um 1 na primeira posição. Isso facilita as operações futuras.
Passo 4
Agora, vamos eliminar a variável das outras linhas usando a primeira linha. Para isso, subtraímos múltiplos da primeira linha das demais:
Linha 3: menos Linha 1:
Linha 4: mais Linha 1:
Linha 5: menos Linha 1:
A matriz agora fica:
Passo 5
Percebemos que a Linha 3 e a Linha 5 são iguais, e a Linha 4 é uma equação redundante (sempre verdadeira). Então, podemos remover a Linha 5 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos focar nas linhas 2 e 3 para eliminar a variável . Somando a Linha 2 e a Linha 3:
Isso significa que não temos informações adicionais, indicando que uma das variáveis é livre. Vamos escolher como variável livre.
Passo 7
Vamos expressar em termos de usando a Linha 2:
Passo 8
Agora, vamos usar a Linha 1 para expressar em termos de , e :
Substituindo pela expressão encontrada:
Simplificando:
Passo 9
Agora temos as expressões para e em termos de e , que são variáveis livres. Podemos escolher valores para e para gerar soluções específicas ou expressar a solução geral em termos dessas variáveis livres.