Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação gaussiana, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as variáveis passo a passo. A gente tem 5 equações com 4 incógnitas: , , e . Nosso objetivo é organizar essas equações de forma que possamos eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de todas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações necessárias. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

O próximo passo é reorganizar a matriz para que o primeiro elemento da primeira linha seja diferente de zero. Se não for, trocamos as linhas. No nosso caso, a primeira linha já tem um zero na primeira posição, então vamos trocar com a segunda linha, que tem um 1 na primeira posição. Isso facilita as operações futuras.

Passo 4

Agora, vamos eliminar a variável das outras linhas usando a primeira linha. Para isso, subtraímos múltiplos da primeira linha das demais:
  • Linha 3: menos Linha 1:
  • Linha 4: mais Linha 1:
  • Linha 5: menos Linha 1:
A matriz agora fica:

Passo 5

Percebemos que a Linha 3 e a Linha 5 são iguais, e a Linha 4 é uma equação redundante (sempre verdadeira). Então, podemos remover a Linha 5 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos focar nas linhas 2 e 3 para eliminar a variável . Somando a Linha 2 e a Linha 3:
Isso significa que não temos informações adicionais, indicando que uma das variáveis é livre. Vamos escolher como variável livre.

Passo 7

Vamos expressar em termos de usando a Linha 2:

Passo 8

Agora, vamos usar a Linha 1 para expressar em termos de , e :
Substituindo pela expressão encontrada:
Simplificando:

Passo 9

Agora temos as expressões para e em termos de e , que são variáveis livres. Podemos escolher valores para e para gerar soluções específicas ou expressar a solução geral em termos dessas variáveis livres.

Resposta

A solução geral do sistema é:
áá
Onde e podem assumir quaisquer valores reais.

Exercícios relacionados

Considere a matriz . Determine os autovalores de .
Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas.
(d)
Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares.
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Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares.