Considere a matriz A=(ll1 & a a & 1), a neq 0. Determine os autovetores de A

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: Temos a matriz 1 & a a & 1 onde , e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo que, quando a matriz é aplicada a ele, resulta em um múltiplo desse mesmo vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, usamos a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & a a & 1 - lambda
Aqui, det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - a cdot a = (1 - lambda)^2 - a^2 é a matriz identidade e (1 - lambda)^2 - a^2 = 0 representa os autovalores. Vamos calcular:
(1 - lambda)^2 = a^2 1 - lambda = pm a lambda = 1 mp a
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para 1 - (1 + a) & a a & 1 - (1 + a) x y = -a & a a & -a x y = 0 0 :
Substituímos na equação -ax + ay = 0 ax - ay = 0 :
1 1
Isso resulta nas equações:
1 - (1 - a) & a a & 1 - (1 - a) x y = a & a a & a x y = 0 0
Simplificando, temos ax + ay = 0 ax + ay = 0 , o que leva a 1 -1 .
Portanto, um autovetor correspondente é .
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta nas equações:
Simplificando, temos , o que leva a .
Portanto, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovetores da matriz 1 1 são 1 -1 e .

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