Considere a matriz
. Determine os autovetores de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: Temos a matriz
onde
, e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo que, quando a matriz é aplicada a ele, resulta em um múltiplo desse mesmo vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, usamos a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso resulta nas equações:
Simplificando, temos
, o que leva a
.
Portanto, um autovetor correspondente é
.
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso resulta nas equações:
Simplificando, temos
, o que leva a
.
Portanto, um autovetor correspondente é
.
Resposta
Os autovetores da matriz
são
e
.