Considere a matriz . Determine os autovetores de

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: Temos a matriz onde , e precisamos encontrar os autovetores dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo que, quando a matriz é aplicada a ele, resulta em um múltiplo desse mesmo vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, usamos a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta nas equações:
Simplificando, temos , o que leva a .
Portanto, um autovetor correspondente é .
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta nas equações:
Simplificando, temos , o que leva a .
Portanto, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovetores da matriz são e .

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