Determine e para que o sistema seja indeterminado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de e de modo que o sistema de equações:
seja indeterminado. Isso significa que queremos que esse sistema tenha infinitas soluções. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser:
  • Determinado: Tem uma solução única.
  • Indeterminado: Tem infinitas soluções.
  • Impossível: Não tem solução.
No caso, queremos que seja indeterminado. Isso acontece quando as duas equações são basicamente a mesma equação multiplicada por um número. Ou seja, uma equação é múltiplo da outra.

Passo 3

Vamos comparar os coeficientes das duas equações. Para que elas sejam múltiplos, os coeficientes de , de e os termos independentes devem estar na mesma proporção.
Então, temos:
Vamos resolver cada parte dessa proporção para encontrar e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o valor da proporção:
Agora, igualamos isso a :
Então, descobrimos que .

Passo 5

Agora, vamos igualar a proporção a :
Assim, encontramos que .

Resposta

Portanto, para que o sistema seja indeterminado, os valores são:

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