Qual o valor de p para que o sistema lp x+y-z=4 x+p y+z=0 x-y=2 admita uma solução única?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem um sistema com três equações e três incógnitas (x, y e z). A pergunta é: para qual valor de esse sistema terá uma solução única?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes de matrizes. Vamos examinar se a matriz dos coeficientes do sistema é invertível, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero. Se for, o sistema terá uma solução única.

Passo 2

Vamos começar organizando o sistema de equações:
p x + y - z = 4 x + p y + z = 0 x - y = 2
Aqui, temos três equações com as incógnitas , e . A ideia é representar esse sistema na forma matricial , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes A = p & 1 & -1 1 & p & 1 1 & -1 & 0 :
b = 4 0 2
E o vetor dos termos constantes :
Para que o sistema tenha uma solução única, a matriz precisa ser invertível, ou seja, o determinante de deve ser diferente de zero ( ).

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = p cdot (p cdot 0 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + (-1) cdot (1 cdot (-1) - p cdot 1) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Vamos calcular cada parte do determinante:
  1. Primeiro termo:
p cdot (p cdot 0 - 1 cdot (-1)) = p cdot (0 + 1) = p cdot 1 = p
  1. Segundo termo:
-1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = -1 cdot (0 + 1) = -1 cdot 1 = -1
  1. Terceiro termo:
-1 cdot (1 cdot (-1) - p cdot 1) = -1 cdot (-1 - p) = -1 cdot (-1 - p) = 1 + p

Passo 6

Agora, somando todos os termos calculados:
det(A) = p - 1 + (1 + p) = p - 1 + 1 + p = 2p
Então, o determinante da matriz é .

Passo 7

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante deve ser diferente de zero:
2p neq 0
Resolvendo essa inequação:
p neq 0

Resposta

O sistema admite uma solução única para todo valor de diferente de zero. Ou seja, .

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