Qual o valor de para que o sistema admita uma solução única?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem um sistema com três equações e três incógnitas (x, y e z). A pergunta é: para qual valor de esse sistema terá uma solução única?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes de matrizes. Vamos examinar se a matriz dos coeficientes do sistema é invertível, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero. Se for, o sistema terá uma solução única.
Passo 2
Vamos começar organizando o sistema de equações:
p x + y - z = 4 x + p y + z = 0 x - y = 2
Aqui, temos três equações com as incógnitas , e . A ideia é representar esse sistema na forma matricial , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
Vamos montar a matriz dos coeficientes A = p & 1 & -1 1 & p & 1 1 & -1 & 0 :
b = 4 0 2
E o vetor dos termos constantes :
Para que o sistema tenha uma solução única, a matriz precisa ser invertível, ou seja, o determinante de deve ser diferente de zero ().
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = p cdot (p cdot 0 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + (-1) cdot (1 cdot (-1) - p cdot 1) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Vamos calcular cada parte do determinante:
Primeiro termo:
p cdot (p cdot 0 - 1 cdot (-1)) = p cdot (0 + 1) = p cdot 1 = p