Determine as matrizes das rotações em
que admitem autovalores e autovetores. Determine os valores desses autovalores e autovetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que pede para determinar as matrizes de rotação no plano (
) que têm autovalores e autovetores, além de encontrar quais são esses valores e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes de rotação, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é uma matriz de rotação no plano. Uma matriz de rotação que gira um vetor em um ângulo
é dada por:
Essa matriz gira qualquer vetor no plano em um ângulo
sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores e autovetores. Para uma matriz
, um autovetor
é um vetor que, quando multiplicado por
, resulta em um múltiplo escalar de
. Esse múltiplo é o autovalor
. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar os valores de
para os quais a matriz de rotação
tem autovalores e autovetores reais. Vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz
igual a zero:
Vamos calcular isso:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os autovalores:
Passo 6
Observamos que os autovalores são complexos (
) a menos que
. Ou seja, os autovalores serão reais somente quando
, o que ocorre quando
ou
.
Passo 7
Vamos analisar esses casos especiais:
-
Quando
: Essa é a matriz identidade, que tem todos os vetores como autovetores e o autovalor. -
Quando
: Essa matriz tem todos os vetores como autovetores e o autovalor.
Resposta
As únicas matrizes de rotação em
que admitem autovalores e autovetores reais são:
-
Matriz identidade (
): - Autovalor:
- Autovetor: Qualquer vetor não nulo no plano.
- Autovalor:
-
Matriz de rotação de 180 graus (
): - Autovalor:
- Autovetor: Qualquer vetor não nulo no plano.
- Autovalor:
Para outros valores de
, os autovalores serão complexos e, portanto, não teremos autovalores e autovetores reais.