Determine as matrizes das rotações em que admitem autovalores e autovetores. Determine os valores desses autovalores e autovetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que pede para determinar as matrizes de rotação no plano () que têm autovalores e autovetores, além de encontrar quais são esses valores e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes de rotação, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é uma matriz de rotação no plano. Uma matriz de rotação que gira um vetor em um ângulo é dada por:
Essa matriz gira qualquer vetor no plano em um ângulo sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores e autovetores. Para uma matriz , um autovetor é um vetor que, quando multiplicado por , resulta em um múltiplo escalar de . Esse múltiplo é o autovalor . Matematicamente, isso é representado por:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar os valores de para os quais a matriz de rotação tem autovalores e autovetores reais. Vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz igual a zero:
Vamos calcular isso:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Essa é uma equação quadrática em . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os autovalores:
Passo 6
Observamos que os autovalores são complexos () a menos que . Ou seja, os autovalores serão reais somente quando , o que ocorre quando ou .
Passo 7
Vamos analisar esses casos especiais:
Quando :
Essa é a matriz identidade, que tem todos os vetores como autovetores e o autovalor .
Quando :
Essa matriz tem todos os vetores como autovetores e o autovalor .
Resposta
As únicas matrizes de rotação em que admitem autovalores e autovetores reais são:
Matriz identidade ():
Autovalor:
Autovetor: Qualquer vetor não nulo no plano.
Matriz de rotação de 180 graus ():
Autovalor:
Autovetor: Qualquer vetor não nulo no plano.
Para outros valores de , os autovalores serão complexos e, portanto, não teremos autovalores e autovetores reais.