Determine as matrizes das rotações em R^2 que admitem autovalores e autovetores. Determine os valores desses autovalores e autovetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que pede para determinar as matrizes de rotação no plano ( ) que têm autovalores e autovetores, além de encontrar quais são esses valores e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes de rotação, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é uma matriz de rotação no plano. Uma matriz de rotação que gira um vetor em um ângulo R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta é dada por:
Essa matriz gira qualquer vetor no plano em um ângulo sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores e autovetores. Para uma matriz A v = lambda v , um autovetor é um vetor que, quando multiplicado por , resulta em um múltiplo escalar de . Esse múltiplo é o autovalor . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar os valores de det(R(theta) - lambda I) = 0 para os quais a matriz de rotação det( costheta - lambda & -sintheta sintheta & costheta - lambda ) = (costheta - lambda)^2 + sin^2theta = 0 tem autovalores e autovetores reais. Vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver o determinante da matriz igual a zero:
Vamos calcular isso:

Passo 5

Resolvendo a equação:
(costheta - lambda)^2 + sin^2theta = 0 Rightarrow lambda^2 - 2lambda costheta + cos^2theta + sin^2theta = 0 Rightarrow lambda^2 - 2lambda costheta + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática em lambda = 2costheta pm raiz(2costheta)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = costheta pm isintheta . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os autovalores:

Passo 6

Observamos que os autovalores são complexos ( ) a menos que . Ou seja, os autovalores serão reais somente quando , o que ocorre quando ou .

Passo 7

Vamos analisar esses casos especiais:
  1. Quando R(0) = 1 & 0 0 & 1 :
    R(pi) = -1 & 0 0 & -1
    Essa é a matriz identidade, que tem todos os vetores como autovetores e o autovalor .
  2. Quando :
    Essa matriz tem todos os vetores como autovetores e o autovalor .

Resposta

As únicas matrizes de rotação em R(0) = 1 & 0 0 & 1 que admitem autovalores e autovetores reais são:
  1. Matriz identidade ( R(pi) = -1 & 0 0 & -1 ):
    • Autovalor:
    • Autovetor: Qualquer vetor não nulo no plano.
  2. Matriz de rotação de 180 graus ( ):
    • Autovalor:
    • Autovetor: Qualquer vetor não nulo no plano.
Para outros valores de , os autovalores serão complexos e, portanto, não teremos autovalores e autovetores reais.

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