Considere a matriz
. Determine os autovalores e autovetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente em autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses termos e como calculá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz
é um número
que satisfaz a equação
, onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Essa equação é chamada de polinômio característico de
.
Então, nosso primeiro passo é montar essa equação para encontrar os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar os autovalores, resolvemos:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores de
são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos
para cada
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo
:
Da segunda equação,
. A primeira equação já é satisfeita. Então, o autovetor correspondente é qualquer múltiplo de
.
Para
:
Resolvendo
:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor correspondente é qualquer múltiplo de
.
Resposta
Os autovalores de
são
e
, com os respectivos autovetores
e
.
Exercícios relacionados
ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
Seja
definido por
. Encontre a matriz associada a
em relação à Base
.
Sejam
e
, bases de
e
, respectivamente. determine a transformação linear
tal que