Considere a matriz . Determine os autovalores e autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente em autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses termos e como calculá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz é um número que satisfaz a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Essa equação é chamada de polinômio característico de .
Então, nosso primeiro passo é montar essa equação para encontrar os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar os autovalores, resolvemos:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Então, os autovalores de são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos para cada , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Da segunda equação, . A primeira equação já é satisfeita. Então, o autovetor correspondente é qualquer múltiplo de .
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação, . Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor correspondente é qualquer múltiplo de .

Resposta

Os autovalores de são e , com os respectivos autovetores e .

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ii) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
Seja definido por . Encontre a matriz associada a em relação à Base .
Sejam e , bases de e , respectivamente. determine a transformação linear tal que