Considere a matriz A=(ll2 & 2 0 & 1). Determine os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz 2 & 2 0 & 1 . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente em autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses termos e como calculá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz é um número que satisfaz a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Essa equação é chamada de polinômio característico de .
Então, nosso primeiro passo é montar essa equação para encontrar os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 2 & 2 0 & 1 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 2 - lambda & 2 0 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (2 times 0) = (2 - lambda)(1 - lambda)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 0
Para encontrar os autovalores, resolvemos:

Passo 4

Resolvendo a equação:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, os autovalores de são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos A - 2I = 0 & 2 0 & -1 para cada 0 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 0 cdot v1 - v2 = 0 , onde 1 0 é o autovetor.
Para A - I = 1 & 2 0 & 0 :
v1 + 2v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
Resolvendo -2 1 :
Da segunda equação, . A primeira equação já é satisfeita. Então, o autovetor correspondente é qualquer múltiplo de .
Para :
Resolvendo :
Da primeira equação, . Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor correspondente é qualquer múltiplo de .

Resposta

Os autovalores de 1 0 são -2 1 e , com os respectivos autovetores e .

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