Sejam alpha=(1,1),(0,2) e beta=(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0), bases de R^2 e R^3, respectivamente. determine a transformação linear T: R^2 R^3 tal que
[T]beta^alpha=(ll 1 & 0 1 & 2 0 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar uma transformação linear que vai de para . Temos duas bases dadas: para e para . Além disso, nos foi dada a matriz da transformação . Para resolver isso, precisamos entender como transformar essa matriz para a base padrão, ou seja, a base usual de e . Vamos precisar de conceitos de mudanças de base e de como representar transformaçōes lineares entre diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. No nosso caso, a matriz representa com respeito às bases em e em .
Para encontrar a matriz da transformação nas bases padrão (que vamos chamar de ), precisamos usar as matrizes de mudança de base.

Passo 3

Vamos identificar as bases:
  • Para P = 1 & 0 1 & 2 , Q = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & 0 & 0 , a base é .
  • Para , a base é .
Vamos chamar de a matriz cuja coluna são os vetores da base , e de a matriz cuja coluna são os vetores da base .
Então:

Passo 4

Sabemos que a relação entre as matrizes da transformação nas diferentes bases é dada por:
[T] = Q [T]beta^alpha P^-1
Isso significa que para encontrar , precisamos multiplicar a matriz pela matriz da transformação e depois pelo inverso de .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o inverso de P = 1 & 0 1 & 2 . A matriz P^-1 = 1det(P) 2 & 0 -1 & 1 = 12 2 & 0 -1 & 1 = 1 & 0 -0.5 & 0.5 é:
O determinante de é , que é diferente de zero, então é invertível. O inverso de é dado por:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar 1 & 0 1 & 2 0 & 1 , [T] = Q [T]beta^alpha P^-1 e [T]beta^alpha P^-1 = 1 & 0 1 & 2 0 & 1 1 & 0 -0.5 & 0.5 = 1 cdot 1 + 0 cdot (-0.5) & 1 cdot 0 + 0 cdot 0.5 1 cdot 1 + 2 cdot (-0.5) & 1 cdot 0 + 2 cdot 0.5 0 cdot 1 + 1 cdot (-0.5) & 0 cdot 0 + 1 cdot 0.5 = 1 & 0 0 & 1 -0.5 & 0.5 :
Dada [T] = Q 1 & 0 0 & 1 -0.5 & 0.5 = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & 0 & 0 1 & 0 0 & 1 -0.5 & 0.5 = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot (-0.5) & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0.5 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 2 cdot (-0.5) & 0 cdot 0 + 1 cdot 1 + 2 cdot 0.5 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot (-0.5) & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0.5 = 0.5 & 0.5 -1 & 2 1 & 0 , temos:
Primeiro calculamos :
Agora, multiplicamos por esse resultado:

Resposta

A transformação linear [T] = 0.5 & 0.5 -1 & 2 1 & 0 é representada pela matriz:

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