Sejam e , bases de e , respectivamente. determine a transformação linear tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar uma transformação linear que vai de para . Temos duas bases dadas: para e para . Além disso, nos foi dada a matriz da transformação . Para resolver isso, precisamos entender como transformar essa matriz para a base padrão, ou seja, a base usual de e . Vamos precisar de conceitos de mudanças de base e de como representar transformaçōes lineares entre diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. No nosso caso, a matriz representa com respeito às bases em e em .
Para encontrar a matriz da transformação nas bases padrão (que vamos chamar de ), precisamos usar as matrizes de mudança de base.
Passo 3
Vamos identificar as bases:
Para , a base é .
Para , a base é .
Vamos chamar de a matriz cuja coluna são os vetores da base , e de a matriz cuja coluna são os vetores da base .
Então:
Passo 4
Sabemos que a relação entre as matrizes da transformação nas diferentes bases é dada por:
Isso significa que para encontrar , precisamos multiplicar a matriz pela matriz da transformação e depois pelo inverso de .
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o inverso de . A matriz é:
O determinante de é , que é diferente de zero, então é invertível. O inverso de é dado por:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar , e :
Dada , temos:
Primeiro calculamos :
Agora, multiplicamos por esse resultado:
Resposta
A transformação linear é representada pela matriz: