Seja definido por . Encontre a matriz associada a em relação à Base .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Queremos encontrar a matriz que representa essa transformação em relação à base .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que é uma transformação linear.
  • Saber como representar uma transformação linear por uma matriz em uma base específica.
  • Calcular as imagens dos vetores da base pela transformação .
  • Expressar essas imagens como combinações lineares dos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação ao primeiro vetor da base , que é .
Calculando :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontramos escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação ao segundo vetor da base , que é .
Calculando :
Queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,

Resposta

A matriz associada à transformação em relação à base é:

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Representa uma reta que passa pela origem.
Considere a Transformação Linear dada por . Encontre uma Base Ortonormal para o Subespaço (Em relação ao Produto Interno Usual de ).
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