Seja T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(2 x+3 y, 4 x-5 y). Encontre a matriz associada a T em relação à Base gamma=(1,2),(2,5).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Queremos encontrar a matriz que representa essa transformação em relação à base .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que é uma transformação linear.
  • Saber como representar uma transformação linear por uma matriz em uma base específica.
  • Calcular as imagens dos vetores da base pela transformação .
  • Expressar essas imagens como combinações lineares dos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(1, 2) = (2 cdot 1 + 3 cdot 2, 4 cdot 1 - 5 cdot 2) = (2 + 6, 4 - 10) = (8, -6) ao primeiro vetor da base (8, -6) = a(1, 2) + b(2, 5) , que é a + 2b = 8 2a + 5b = -6 .
Calculando 2(8 - 2b) + 5b = -6 16 - 4b + 5b = -6 16 + b = -6 b = -22 :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontramos escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T(2, 5) = (2 cdot 2 + 3 cdot 5, 4 cdot 2 - 5 cdot 5) = (4 + 15, 8 - 25) = (19, -17) ao segundo vetor da base (19, -17) = c(1, 2) + d(2, 5) , que é c + 2d = 19 2c + 5d = -17 .
Calculando 2(19 - 2d) + 5d = -17 38 - 4d + 5d = -17 38 + d = -17 d = -55 :
Queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,

Resposta

A matriz associada à transformação 52 & 129 -22 & -55 em relação à base é:

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