Seja
definido por
. Encontre a matriz associada a
em relação à Base
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Queremos encontrar a matriz que representa essa transformação em relação à base
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que é uma transformação linear.
- Saber como representar uma transformação linear por uma matriz em uma base específica.
- Calcular as imagens dos vetores da base
pela transformação . - Expressar essas imagens como combinações lineares dos vetores da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
ao primeiro vetor da base
, que é
.
Calculando
:
Agora, queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, encontramos escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Primeira equação:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação
ao segundo vetor da base
, que é
.
Calculando
:
Queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Primeira equação:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,
Resposta
A matriz associada à transformação
em relação à base
é:
Exercícios relacionados
Representa uma reta que passa pela origem.
Considere a Transformação Linear dada por
. Encontre uma Base Ortonormal para o Subespaço
(Em relação ao Produto Interno Usual de
).
ii) Encontre as coordenadas polares
do ponto, onde
e
.
Considere a matriz
. Determine os autovalores e autovetores de
.