ii) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas polares (r, theta) de um ponto onde o valor de r é negativo, ou seja, r < 0, e o ângulo theta está entre 0 e 2pi radianos. Para resolver isso, precisamos entender como as coordenadas polares funcionam, especialmente quando o raio r é negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto no plano é determinado por dois valores: o raio r, que é a distância do ponto até a origem, e o ângulo theta, que é o ângulo formado com o eixo positivo dos x. Normalmente, consideramos r >= 0, mas quando r é negativo, precisamos ajustar o ângulo para manter a representação correta do ponto.

Passo 3

Quando temos um r negativo, o ponto na verdade está na direção oposta ao ângulo theta dado. Para converter isso em coordenadas polares com r positivo, adicionamos pi (ou 180 graus) ao ângulo theta. Ou seja, se temos um ponto com coordenadas (-r, theta), ele pode ser reescrito como (r, theta + pi).

Passo 4

Depois de ajustar o ângulo adicionando pi, precisamos garantir que theta esteja dentro do intervalo 0 <= theta <= 2pi. Se a nova theta ultrapassar 2pi, subtraímos 2pi para trazê-la de volta ao intervalo correto.

Resposta

As coordenadas polares do ponto com r < 0 e 0 <= theta <= 2pi são dados por (r, theta) = (|r|, theta + pi), garantindo que o ângulo final esteja entre 0 e 2pi radianos.

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