Dadas as Bases $\alpha=\{(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ e $\beta=\{(1,2),(0,1)\}$ de $\mathbb{R}^{2}$, ache a transformação linear $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ tal que $$ [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right) $$
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma transformação linear \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) que se relaciona com as bases dadas \( \alpha = \{(1,1,1), (0,1,0), (0,1,1)\} \) de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \beta = \{(1,2), (0,1)\} \) de \( \mathbb{R}^{2} \). A gente também tem uma matriz que representa essa transformação nas bases \( \alpha \) e \( \beta \), que é:
\[
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
Vamos usar conceitos de mudanças de base e matrizes de transformação para achar a transformação \( T \).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa matriz \( [T]_{\beta}^{\alpha} \). Ela representa como a transformação \( T \) age nos vetores da base \( \alpha \) e expressa os resultados na base \( \beta \). Para encontrar a transformação \( T \) no espaço padrão, precisamos converter essa representação.
Passo 3
Vamos chamar a matriz \( [T]_{\beta}^{\alpha} \) de \( A \). Para achar a matriz da transformação \( T \) na base canônica (ou seja, a base padrão de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \mathbb{R}^{2} \)), precisamos fazer o seguinte:
\[
[T]_{\text{canônica}} = P_{\beta} A P_{\alpha}^{-1}
\]
Onde:
- \( P_{\alpha} \) é a matriz de mudança de base de \( \alpha \) para a base canônica.
- \( P_{\beta} \) é a matriz de mudança de base de \( \beta \) para a base canônica.
- \( A \) é a matriz \( [T]_{\beta}^{\alpha} \).
Passo 4
Vamos construir as matrizes \( P_{\alpha} \) e \( P_{\beta} \).
Para \( \alpha = \{(1,1,1), (0,1,0), (0,1,1)\} \), a matriz \( P_{\alpha} \) é formada colocando os vetores de \( \alpha \) como colunas:
\[
P_{\alpha} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Para \( \beta = \{(1,2), (0,1)\} \), a matriz \( P_{\beta} \) é:
\[
P_{\beta} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Passo 5
Agora, precisamos calcular \( P_{\alpha}^{-1} \), que é a inversa de \( P_{\alpha} \). Vamos calcular essa inversa:
\[
P_{\alpha} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Calculando a inversa, temos:
\[
P_{\alpha}^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a fórmula:
\[
[T]_{\text{canônica}} = P_{\beta} \cdot A \cdot P_{\alpha}^{-1}
\]
Substituindo os valores:
\[
P_{\beta} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix}, \quad
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix}, \quad
P_{\alpha}^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Primeiro, multiplicamos \( A \) por \( P_{\alpha}^{-1} \):
\[
A \cdot P_{\alpha}^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \\
-1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) & -1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1
\end{pmatrix}
\]
Calculando cada elemento:
\[
= \begin{pmatrix}
1 + 0 -2 & 0 + 0 +0 & 0 + 0 +2 \\
-1 +1 -1 & 0 -1 +0 & 0 +1 +1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]
Agora, multiplicamos \( P_{\beta} \) pelo resultado acima:
\[
[T]_{\text{canônica}} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 \\
2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2
\end{pmatrix}
\]
Calculando cada elemento:
\[
= \begin{pmatrix}
-1 +0 & 0 +0 & 2 +0 \\
-2 -1 & 0 -1 & 4 +2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
-3 & -1 & 6
\end{pmatrix}
\]
Resposta
A transformação linear \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) é representada pela matriz na base canônica:
\[
[T]_{\text{canônica}} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
-3 & -1 & 6
\end{pmatrix}
\]