Dadas as Bases $\alpha=\{(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)\}$ de $\mathbb{R}^{3}$ e $\beta=\{(1,2),(0,1)\}$ de $\mathbb{R}^{2}$, ache a transformação linear $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ tal que $$ [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right) $$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma transformação linear \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) que se relaciona com as bases dadas \( \alpha = \{(1,1,1), (0,1,0), (0,1,1)\} \) de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \beta = \{(1,2), (0,1)\} \) de \( \mathbb{R}^{2} \). A gente também tem uma matriz que representa essa transformação nas bases \( \alpha \) e \( \beta \), que é: \[ [T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] Vamos usar conceitos de mudanças de base e matrizes de transformação para achar a transformação \( T \).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa matriz \( [T]_{\beta}^{\alpha} \). Ela representa como a transformação \( T \) age nos vetores da base \( \alpha \) e expressa os resultados na base \( \beta \). Para encontrar a transformação \( T \) no espaço padrão, precisamos converter essa representação.

Passo 3

Vamos chamar a matriz \( [T]_{\beta}^{\alpha} \) de \( A \). Para achar a matriz da transformação \( T \) na base canônica (ou seja, a base padrão de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \mathbb{R}^{2} \)), precisamos fazer o seguinte: \[ [T]_{\text{canônica}} = P_{\beta} A P_{\alpha}^{-1} \] Onde: - \( P_{\alpha} \) é a matriz de mudança de base de \( \alpha \) para a base canônica. - \( P_{\beta} \) é a matriz de mudança de base de \( \beta \) para a base canônica. - \( A \) é a matriz \( [T]_{\beta}^{\alpha} \).

Passo 4

Vamos construir as matrizes \( P_{\alpha} \) e \( P_{\beta} \). Para \( \alpha = \{(1,1,1), (0,1,0), (0,1,1)\} \), a matriz \( P_{\alpha} \) é formada colocando os vetores de \( \alpha \) como colunas: \[ P_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Para \( \beta = \{(1,2), (0,1)\} \), a matriz \( P_{\beta} \) é: \[ P_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Passo 5

Agora, precisamos calcular \( P_{\alpha}^{-1} \), que é a inversa de \( P_{\alpha} \). Vamos calcular essa inversa: \[ P_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Calculando a inversa, temos: \[ P_{\alpha}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as matrizes conforme a fórmula: \[ [T]_{\text{canônica}} = P_{\beta} \cdot A \cdot P_{\alpha}^{-1} \] Substituindo os valores: \[ P_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad P_{\alpha}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Primeiro, multiplicamos \( A \) por \( P_{\alpha}^{-1} \): \[ A \cdot P_{\alpha}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \\ -1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) & -1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento: \[ = \begin{pmatrix} 1 + 0 -2 & 0 + 0 +0 & 0 + 0 +2 \\ -1 +1 -1 & 0 -1 +0 & 0 +1 +1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \] Agora, multiplicamos \( P_{\beta} \) pelo resultado acima: \[ [T]_{\text{canônica}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento: \[ = \begin{pmatrix} -1 +0 & 0 +0 & 2 +0 \\ -2 -1 & 0 -1 & 4 +2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -3 & -1 & 6 \end{pmatrix} \]

Resposta

A transformação linear \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) é representada pela matriz na base canônica: \[ [T]_{\text{canônica}} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -3 & -1 & 6 \end{pmatrix} \]

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