Considere a matriz A=(ll2 & 3 6 & k) e o sistema linear
r 2 x+3 y=1 6 x+k y=2
(i) Calcular o valor de k para que a matriz A não tenha inversa.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve matrizes e sistemas lineares. O enunciado nos apresenta uma matriz e um sistema de equações lineares. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a matriz não tenha inversa. Para isso, vamos utilizar conceitos de determinantes de matrizes, que nos ajudam a saber se uma matriz é invertível ou não.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que significa uma matriz ter uma inversa. Uma matriz quadrada possui uma inversa se e somente se seu determinante for diferente de zero. Portanto, se queremos que não tenha inversa, devemos encontrar quando .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & 3 6 & k :
det(A) = (a cdot d) - (b cdot c)
O determinante de uma matriz 2x2 é calculado da seguinte forma:
A = a & b c & d
onde os elementos da matriz det(A) = (2 cdot k) - (3 cdot 6) = 2k - 18 são:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Agora, queremos que a matriz 2k - 18 = 0 não tenha inversa, ou seja, que o determinante seja zero:

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de 2k - 18 = 0 2k = 18 k = 182 k = 9 :

Resposta

O valor de que faz com que a matriz não tenha inversa é .

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