Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(iii) C=(cccc-1 & 2 & 0 & -8 0 & -1 & 2 & 1 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a inversa da matriz C = -1 & 2 & 0 & -8 0 & -1 & 2 & 1 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 usando operações elementares. Primeiro, vamos entender o que temos:
A matriz é uma matriz quadrada 4x4:
Estamos lidando com matrizes e operações elementares, que são manobras que fazemos nas linhas da matriz para chegar na matriz identidade, que nos ajuda a encontrar a inversa.

Passo 2

Para encontrar a inversa de ( C | I ) = ( cccc|cccc -1 & 2 & 0 & -8 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ) , vamos montar uma matriz aumentada que combina com a matriz identidade do mesmo tamanho:
A ideia é transformar a parte da esquerda (que é ) na matriz identidade usando operações nas linhas. As mesmas operações vão transformar a parte da direita na inversa de .

Passo 3

Vamos começar ajustando a primeira linha para que o elemento R1 -1 times R1 seja 1. Como está ( cccc|cccc 1 & -2 & 0 & 8 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ) , vamos multiplicar a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Porém, já estão zerados, então seguimos para a segunda coluna. Vamos ajustar o segundo elemento R2 -1 times R2 para 1. Atualmente, é ( cccc|cccc 1 & -2 & 0 & 8 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ) , então multiplicamos a segunda linha por :

Passo 5

Vamos agora zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Para zerar acima, usamos a segunda linha:
R1 R1 + 2 times R2
( cccc|cccc 1 & 0 & -4 & 6 & -1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 6

Agora, vamos ajustar a terceira linha para que R3 -1 times R3 seja 1. Como está ( cccc|cccc 1 & 0 & -4 & 6 & -1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ) , multiplicamos a terceira linha por :

Passo 7

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna. Primeiro, zeramos acima:
R1 R1 + 4 times R3
R2 R2 + 2 times R3
( cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -2 & -4 & 0 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 8

Finalmente, vamos ajustar a quarta linha para que R4 -1 times R4 seja 1. Está ( cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & -2 & -4 & 0 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 ) , então multiplicamos a quarta linha por :

Passo 9

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna:
R1 R1 - 2 times R4
R2 R2 + 3 times R4
R3 R3 + R4
( cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 )

Resposta

A inversa da matriz C^-1 = -1 & -2 & -4 & 2 0 & -1 & -2 & 3 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 é:

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