Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Primeiro, vamos entender o que temos:
A matriz é uma matriz quadrada 4x4:
Estamos lidando com matrizes e operações elementares, que são manobras que fazemos nas linhas da matriz para chegar na matriz identidade, que nos ajuda a encontrar a inversa.
Passo 2
Para encontrar a inversa de , vamos montar uma matriz aumentada que combina com a matriz identidade do mesmo tamanho:
A ideia é transformar a parte da esquerda (que é ) na matriz identidade usando operações nas linhas. As mesmas operações vão transformar a parte da direita na inversa de .
Passo 3
Vamos começar ajustando a primeira linha para que o elemento seja 1. Como está , vamos multiplicar a primeira linha por :
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Porém, já estão zerados, então seguimos para a segunda coluna. Vamos ajustar o segundo elemento para 1. Atualmente, é , então multiplicamos a segunda linha por :
Passo 5
Vamos agora zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Para zerar acima, usamos a segunda linha:
Passo 6
Agora, vamos ajustar a terceira linha para que seja 1. Como está , multiplicamos a terceira linha por :
Passo 7
Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna. Primeiro, zeramos acima:
Passo 8
Finalmente, vamos ajustar a quarta linha para que seja 1. Está , então multiplicamos a quarta linha por :
Passo 9
Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna: