Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a igualdade é verdadeira ou falsa para matrizes quadradas e de ordem . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como ajudar a determinar se a matriz é inversível, entre outras aplicações.

Passo 3

Uma propriedade fundamental dos determinantes é que, para qualquer matriz quadrada e para qualquer inteiro positivo , temos que:
Isso significa que o determinante da matriz elevada à potência é igual ao determinante de elevado a essa mesma potência.

Passo 4

No caso específico do exercício, estamos considerando . Aplicando a propriedade acima, temos:
Isso mostra que a igualdade proposta no enunciado está de acordo com a propriedade dos determinantes.

Resposta

A afirmação é verdadeira. De acordo com as propriedades dos determinantes, o determinante da matriz elevada ao quadrado é igual ao quadrado do determinante de , ou seja, .

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Se possível, resolva a equação matricial: , onde é uma coluna e: