Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. det(A^2)=[det(A)]^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a igualdade det(A^2)=[det(A)]^2 é verdadeira ou falsa para matrizes quadradas A e B de ordem n. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como ajudar a determinar se a matriz é inversível, entre outras aplicações.

Passo 3

Uma propriedade fundamental dos determinantes é que, para qualquer matriz quadrada A e para qualquer inteiro positivo k, temos que:
det(A^k) = [det(A)]^k
Isso significa que o determinante da matriz A elevada à potência k é igual ao determinante de A elevado a essa mesma potência.

Passo 4

No caso específico do exercício, estamos considerando k = 2. Aplicando a propriedade acima, temos:
det(A^2) = [det(A)]^2
Isso mostra que a igualdade proposta no enunciado está de acordo com a propriedade dos determinantes.

Resposta

A afirmação é verdadeira. De acordo com as propriedades dos determinantes, o determinante da matriz A elevada ao quadrado é igual ao quadrado do determinante de A, ou seja, det(A^2)=[det(A)]^2.

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