Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a igualdade é verdadeira ou falsa para matrizes quadradas e de ordem . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas dos determinantes.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como ajudar a determinar se a matriz é inversível, entre outras aplicações.
Passo 3
Uma propriedade fundamental dos determinantes é que, para qualquer matriz quadrada e para qualquer inteiro positivo , temos que:
Isso significa que o determinante da matriz elevada à potência é igual ao determinante de elevado a essa mesma potência.
Passo 4
No caso específico do exercício, estamos considerando . Aplicando a propriedade acima, temos:
Isso mostra que a igualdade proposta no enunciado está de acordo com a propriedade dos determinantes.
Resposta
A afirmação é verdadeira. De acordo com as propriedades dos determinantes, o determinante da matriz elevada ao quadrado é igual ao quadrado do determinante de , ou seja, .