A matriz
é ortogonal? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se a matriz é ortogonal. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais, e precisamos entender como verificar se uma matriz é ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se o seu transposto
multiplicado por ela mesma resultar na matriz identidade
. Isso é matematicamente representado por:
Então, para verificar se
é ortogonal, precisamos calcular
e ver se obtenha a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o transposto de
. O transposto de uma matriz troca suas linhas por colunas. Assim:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
:
Multiplicando as matrizes:
Simplificando cada elemento:
Note que e (pela identidade trigonométrica).
Então:
Resposta
Sim, a matriz
é ortogonal porque
, a matriz identidade.