A matriz é ortogonal? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se a matriz é ortogonal. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais, e precisamos entender como verificar se uma matriz é ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz é ortogonal se o seu transposto multiplicado por ela mesma resultar na matriz identidade . Isso é matematicamente representado por:
Então, para verificar se é ortogonal, precisamos calcular e ver se obtenha a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o transposto de . O transposto de uma matriz troca suas linhas por colunas. Assim:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar por :
Multiplicando as matrizes:
Simplificando cada elemento:
Note que e (pela identidade trigonométrica).
Então:

Resposta

Sim, a matriz é ortogonal porque , a matriz identidade.

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(ii) Para o valor de obtido em (i), o sistema tem solução única? Infinitas soluções? Não possui solução? Justifique a sua resposta.
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(ii)
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