A matriz A=[cccos theta & -sen theta sen theta & cos theta] é ortogonal? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se a matriz é ortogonal. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais, e precisamos entender como verificar se uma matriz é ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz A^T A = I é ortogonal se o seu transposto multiplicado por ela mesma resultar na matriz identidade . Isso é matematicamente representado por:
Então, para verificar se é ortogonal, precisamos calcular e ver se obtenha a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o transposto de A^T = cos theta & sen theta -sen theta & cos theta . O transposto de uma matriz troca suas linhas por colunas. Assim:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar A^T A = cos theta & sen theta -sen theta & cos theta cos theta & -sen theta sen theta & cos theta por A^T A = cos theta cdot cos theta + sen theta cdot (-sen theta) & cos theta cdot (-sen theta) + sen theta cdot cos theta -sen theta cdot cos theta + cos theta cdot sen theta & -sen theta cdot (-sen theta) + cos theta cdot cos theta :
Multiplicando as matrizes:
Simplificando cada elemento:
Note que e (pela identidade trigonométrica).
Então:

Resposta

Sim, a matriz é ortogonal porque , a matriz identidade.

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