Sendo A e B as matrizes
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 ] e B=[lll 4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ]
determine matrizes X, Y in M3(R) de maneira que
l 2 X-Y=A+B X+Y=A-B

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, l 2X - Y = A + B X + Y = A - B e , que são matrizes 3x3. O exercício nos pede para encontrar duas outras matrizes, e , que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra de matrizes, basicamente tratando e como incógnitas e resolvendo o sistema como fariam com equações normais.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas equações do sistema para eliminar 2X - Y + X + Y = (A + B) + (A - B) . Se somarmos 3X = 2A com X = 23A , temos:
Simplificando os termos, fica:
Agora, para encontrar , dividimos ambos os lados por 3:

Passo 3

Agora que já temos X + Y = A - B em termos de 23A + Y = A - B , vamos usar a segunda equação do sistema para encontrar Y = A - B - 23A . A equação é:
Y = (1 - 23)A - B = 13A - B
Substituindo por , fica:
Agora, isolamos subtraindo de ambos os lados:
Simplificando, combinamos os termos com :

Passo 4

Vamos agora substituir as matrizes X = 23A = 23 [lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 ] = [lll 23 & 0 & 0 0 & 43 & 0 0 & 0 & 83 ] e Y = 13A - B = 13 [lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 ] - [lll 4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ] = [lll 13 - 4 & 0 - 0 & 0 - 0 0 - 0 & 23 - 2 & 0 - 0 0 - 0 & 0 - 0 & 43 - 1 ] nas expressões que encontramos para Y = [lll -113 & 0 & 0 0 & -43 & 0 0 & 0 & 13 ] e .
Primeiro, calculando :
Agora, calculando :
Simplificando cada elemento:

Resposta

As matrizes que satisfazem o sistema são:
X = [lll 23 & 0 & 0 0 & 43 & 0 0 & 0 & 83 ] e Y = [lll -113 & 0 & 0 0 & -43 & 0 0 & 0 & 13 ]

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