Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Nos itens (a) a (h), temos diferentes matrizes e precisamos verificar propriedades do determinante dessas matrizes. Os determinantes são fundamentais na álgebra linear para identificar propriedades como a invertibilidade de matrizes. Para resolver as questões (i) a (v), vamos analisar o que faz com que os determinantes das matrizes sejam nulos ou mudem de sinal, e observar outras características específicas em certos itens.
Item (d): Na segunda coluna, cada entrada é cinco vezes a correspondente na primeira coluna, mostrando que as colunas são múltiplas umas das outras.
Passo 4
Item (ii):
Item (e): A matriz é triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Item (f): Similar ao item (e), a matriz é triangular inferior com zeros acima da diagonal principal. Novamente, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 5
Item (iii): No item (g), a segunda linha da primeira matriz é , , , que é a soma da segunda linha da segunda matriz () com duas vezes a terceira linha (). Isso significa que a segunda linha da primeira matriz é uma combinação linear das linhas da segunda matriz, o que não altera o determinante.
Passo 6
Item (v): No item (h), a segunda e terceira linhas da matriz foram trocadas em relação à outra matriz. Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1, alterando assim o sinal do determinante.
(ii) No item (e), observamos que a matriz é triangular superior, e no item (f), que é triangular inferior. Em ambos os casos, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
(iii) No item (g), a primeira matriz tem uma segunda linha que é uma combinação linear das linhas da segunda matriz, o que mantém os determinantes iguais.
(v) No item (h), a troca de duas linhas da matriz causou a inversão do sinal do determinante.