Verifique que:
(a) se A=[llla & b & c 0 & 0 & 0 x & y & z], então det(A)=0.
(b) se A=[ccca & b & c x & y & z 3 x & 3 y & 3 z], então det(A)=0;
© se A=[lll0 & b & c 0 & e & f 0 & y & z], então det(A)=0
(d) se A=[llla & 5 a & c d & 5 d & f x & 5 x & z], então det(A)=0;
(e) se A=[llla & b & c 0 & e & f 0 & 0 & z], então det(A)=a cdot e cdot z
(f) se A=[llla & 0 & 0 d & e & 0 x & y & z], então det(A)=a cdot e cdot z
(g) det[ccca & b & c d+2 x & e+2 y & f+2 z x & y & z]=det[llla & b & c d & e & f x & y & z]
(h) det[llla & b & c x & y & z d & e & f]=-det[llla & b & c d & e & f x & y & z]
Responda:
(i) Nos itens (a), (b), © e (d), o que causou a nulidade do determinante?
(ii) O que observamos no item (e)? E no item (f)?
(iii) No item (g), o que podemos dizer a respeito da primeira matriz em relação à segunda?
(v) No item (h), o que causou a troca de sinal do determinante?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Nos itens (a) a (h), temos diferentes matrizes e precisamos verificar propriedades do determinante dessas matrizes. Os determinantes são fundamentais na álgebra linear para identificar propriedades como a invertibilidade de matrizes. Para resolver as questões (i) a (v), vamos analisar o que faz com que os determinantes das matrizes sejam nulos ou mudem de sinal, e observar outras características específicas em certos itens.

Passo 2

Item (i): Precisamos identificar por que, nos itens (a), (b), © e (d), os determinantes das matrizes são iguais a zero. O determinante de uma matriz é zero quando as linhas ou colunas da matriz são linearmente dependentes. Isso significa que uma linha pode ser expressa como uma combinação linear de outras linhas, o que faz com que a matriz não seja invertível.

Passo 3

Analizando cada item:
  • Item (a): A segunda linha é completamente zero, o que significa que ela não contribui para a determinação da matriz, tornando as linhas dependentes.
  • Item (b): A terceira linha é três vezes a segunda linha, ou seja, elas são múltiplas umas das outras, o que causa dependência linear.
  • Item ©: Todas as entradas da primeira coluna são zero, tornando uma coluna inteira nula, o que também causa dependência linear.
  • Item (d): Na segunda coluna, cada entrada é cinco vezes a correspondente na primeira coluna, mostrando que as colunas são múltiplas umas das outras.

Passo 4

Item (ii):
  • Item (e): A matriz é triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
  • Item (f): Similar ao item (e), a matriz é triangular inferior com zeros acima da diagonal principal. Novamente, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 5

Item (iii): No item (g), a segunda linha da primeira matriz é , , , que é a soma da segunda linha da segunda matriz ( ) com duas vezes a terceira linha ( ). Isso significa que a segunda linha da primeira matriz é uma combinação linear das linhas da segunda matriz, o que não altera o determinante.

Passo 6

Item (v): No item (h), a segunda e terceira linhas da matriz foram trocadas em relação à outra matriz. Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1, alterando assim o sinal do determinante.

Resposta

(i) Foi a dependência linear das linhas ou colunas das matrizes nos itens (a), (b), © e (d) que causou o determinante ser zero.
(ii) No item (e), observamos que a matriz é triangular superior, e no item (f), que é triangular inferior. Em ambos os casos, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
(iii) No item (g), a primeira matriz tem uma segunda linha que é uma combinação linear das linhas da segunda matriz, o que mantém os determinantes iguais.
(v) No item (h), a troca de duas linhas da matriz causou a inversão do sinal do determinante.

Exercícios relacionados