Considere a matriz .
(b) Determine os autovalores de ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores da matriz . Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como calculá-los usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é um autovetor não nulo. Para encontrar esses , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 2x2 é:
Então,

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 5

Multiplicando os termos:
E:
Então, o determinante fica:

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Fatorando a expressão:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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(b) seja possível indeterminado;
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