Considere a matriz A=[ll4 & 2 2 & 1].
(b) Determine os autovalores de A;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores da matriz 4 & 2 2 & 1 . Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como calculá-los usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Autovalores são números det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação , onde é um autovetor não nulo. Para encontrar esses , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 4 - lambda & 2 2 & 1 - lambda para uma matriz 2x2 é:
Então,

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (2)(2)
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 5

Multiplicando os termos:
(4 - lambda)(1 - lambda) = 4 cdot 1 - 4lambda - lambda cdot 1 + lambda^2 = 4 - 5lambda + lambda^2
E:
(2)(2) = 4
Então, o determinante fica:
det(A - lambda I) = (4 - 5lambda + lambda^2) - 4 = lambda^2 - 5lambda

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 5lambda = 0
Fatorando a expressão:
lambda(lambda - 5) = 0

Passo 7

Resolvendo a equação:
lambda = 0 ou lambda - 5 = 0 Rightarrow lambda = 5

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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