Considere a matriz
.
(b) Determine os autovalores de
;
(b) Determine os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores da matriz
. Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como calculá-los usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Autovalores são números
que satisfazem a equação
, onde
é um autovetor não nulo. Para encontrar esses
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
, e
representa o determinante da matriz.
Passo 3
Vamos montar a matriz
. A matriz identidade
para uma matriz 2x2 é:
Então,
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 5
Multiplicando os termos:
E:
Então, o determinante fica:
Passo 6
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Fatorando a expressão:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.