Determine os autovalores e os autovetores operador T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores! O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores do operador definido por . Vamos precisar usar o conceito de matrizes, determinantes e equações características para achar os autovalores e depois os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 1 1 & -1 como uma matriz. Se , então a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & -1 - lambda :

Passo 5

O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (1)(1) = ( -1 - lambda + lambda + lambda^2) - 1 = lambda^2 - 2

Passo 6

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 2 = 0 implies lambda^2 = 2 implies lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2

Passo 7

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .

Passo 8

Primeiro, para A - raiz2 I = 1 - raiz2 & 1 1 & -1 - raiz2 :
(1 - raiz2)x + y = 0
Resolvendo o sistema:
x + (-1 - raiz2)y = 0
1 raiz2 -1
Podemos expressar .
Portanto, um autovetor correspondente é .

Passo 9

Agora, para A + raiz2 I = 1 + raiz2 & 1 1 & -1 + raiz2 :
(1 + raiz2)x + y = 0
Resolvendo o sistema:
x + (-1 + raiz2)y = 0
1 -1 -raiz2
Podemos expressar .
Portanto, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovalores do operador v1 = 1 raiz2 -1 , v2 = 1 -1 -raiz2 são e com os respectivos autovetores:

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