Determine os autovalores e os autovetores operador
dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores! O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores do operador
definido por
. Vamos precisar usar o conceito de matrizes, determinantes e equações características para achar os autovalores e depois os autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. Se
, então a matriz associada a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
O determinante dessa matriz é:
Passo 6
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Passo 7
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Passo 8
Primeiro, para
:
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar
.
Portanto, um autovetor correspondente é
.
Passo 9
Agora, para
:
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar
.
Portanto, um autovetor correspondente é
.
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
com os respectivos autovetores: