Determine os autovalores e os autovetores operador dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores! O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores do operador definido por . Vamos precisar usar o conceito de matrizes, determinantes e equações características para achar os autovalores e depois os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Se , então a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

O determinante dessa matriz é:

Passo 6

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:

Passo 7

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .

Passo 8

Primeiro, para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar .
Portanto, um autovetor correspondente é .

Passo 9

Agora, para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar .
Portanto, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovalores do operador são e com os respectivos autovetores:

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Considere a matriz .
(b) Determine os autovalores de ;