Determine os autovalores e os autovetores operador dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores! O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores do operador definido por . Vamos precisar usar o conceito de matrizes, determinantes e equações características para achar os autovalores e depois os autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Se , então a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
O determinante dessa matriz é:
Passo 6
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Passo 7
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .
Passo 8
Primeiro, para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar .
Portanto, um autovetor correspondente é .
Passo 9
Agora, para :
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar .
Portanto, um autovetor correspondente é .
Resposta
Os autovalores do operador são e com os respectivos autovetores: