Dados os pontos A=(1,0,1), B=(2,3,1), C=(1,2,1) e D=(5,1,3). Calcule o volume do tetraedro A B C D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do tetraedro formado pelos pontos , , e . Esse problema pertence à geometria espacial, especificamente ao cálculo de volumes de sólidos tridimensionais. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do determinante para encontrar o volume de um tetraedro a partir das coordenadas dos seus vértices.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o volume V = 16 | det xB - xA & yB - yA & zB - zA xC - xA & yC - yA & zC - zA xD - xA & yD - yA & zD - zA | de um tetraedro formado por quatro pontos , , e pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Isso significa que a gente precisa montar uma matriz com as diferenças das coordenadas dos pontos e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos começar calculando as diferenças das coordenadas:
xB - xA &= 2 - 1 = 1 yB - yA &= 3 - 0 = 3 zB - zA &= 1 - 1 = 0 xC - xA &= 1 - 1 = 0 yC - yA &= 2 - 0 = 2 zC - zA &= 1 - 1 = 0 xD - xA &= 5 - 1 = 4 yD - yA &= 1 - 0 = 1 zD - zA &= 3 - 1 = 2

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz com essas diferenças:
1 & 3 & 0 0 & 2 & 0 4 & 1 & 2
Precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz:
det 1 & 3 & 0 0 & 2 & 0 4 & 1 & 2 = 1 cdot (2 cdot 2 - 0 cdot 1) - 3 cdot (0 cdot 2 - 0 cdot 4) + 0 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 4)
Simplificando:
= 1 cdot (4 - 0) - 3 cdot (0 - 0) + 0 cdot (0 - 8) = 4 - 0 + 0 = 4

Passo 6

Agora que temos o determinante, vamos usar a fórmula do volume:
V = 16 | 4 | = 46 = 23

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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