Escreva uma base para 0 espaço vetorial das matrizes
. Qual a dimensão deste espaço?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa escrever uma base para o espaço vetorial das matrizes
e descobrir qual é a dimensão desse espaço. Então, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso das matrizes
, cada matriz pode ser vista como um vetor em um espaço de dimensão
, porque temos
elementos na matriz.
Passo 3
Agora, vamos construir uma base para esse espaço. Uma forma comum de fazer isso é considerar as matrizes que têm 1 em uma posição específica e 0 nas demais. Por exemplo, para
, as matrizes seriam:
Essas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz
pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Passo 4
Generalizando para qualquer
, temos que a base será composta por todas as matrizes
onde
e
variam de 1 a
. Ou seja:
Onde cada
tem 1 na posição
e 0 nas outras posições.
Passo 5
Agora, para encontrar a dimensão desse espaço, contamos quantas matrizes
temos na base. Como
varia de 1 a
e
também varia de 1 a
, temos
matrizes na base.
Resposta
Uma base para o espaço vetorial das matrizes
é o conjunto das matrizes
onde cada
tem 1 na posição
e 0 nas demais posições, para todo
. A dimensão desse espaço é
.
Exercícios relacionados
Determine os autovalores e os autovetores operador
dado por
.
Considere a matriz
.
(a) Determine o polinômio característico de ;
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Considere a matriz
.
(b) Determine os autovalores de ;
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(se existirem) para que o sistema
(a) seja possível determinado;
(b) seja possível indeterminado;
© seja impossível.
(b) seja possível indeterminado;
© seja impossível.