Escreva uma base para 0 espaço vetorial das matrizes n X n. Qual a dimensão deste espaço?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa escrever uma base para o espaço vetorial das matrizes e descobrir qual é a dimensão desse espaço. Então, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso das matrizes , cada matriz pode ser vista como um vetor em um espaço de dimensão , porque temos elementos na matriz.

Passo 3

Agora, vamos construir uma base para esse espaço. Uma forma comum de fazer isso é considerar as matrizes que têm 1 em uma posição específica e 0 nas demais. Por exemplo, para E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1 , as matrizes seriam:
Essas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear delas.

Passo 4

Generalizando para qualquer Eij mid 1 <= i, j <= n , temos que a base será composta por todas as matrizes onde e variam de 1 a . Ou seja:
Onde cada tem 1 na posição e 0 nas outras posições.

Passo 5

Agora, para encontrar a dimensão desse espaço, contamos quantas matrizes temos na base. Como varia de 1 a e também varia de 1 a , temos matrizes na base.

Resposta

Uma base para o espaço vetorial das matrizes é o conjunto das matrizes onde cada tem 1 na posição e 0 nas demais posições, para todo . A dimensão desse espaço é .

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