Determine os valores de k (se existirem) para que o sistema
-x+2 y+k z & =1 k x+4 y-4 z & =2 2 x+y+z & =-2 k
(a) seja possível determinado;
(b) seja possível indeterminado;
© seja impossível.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro k. Precisamos descobrir para quais valores de k o sistema:
  • Tem uma única solução (determinado).
  • Tem infinitas soluções (indeterminado).
  • Não tem solução (impossível).
Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, mais especificamente o conceito de determinante e classificação de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz dos coeficientes fica assim:
-1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1
E a coluna dos termos constantes é:
1 2 -2k

Passo 3

Para determinar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se é possível ter infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos calcular o determinante da matriz:
De

Passo 4

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou cofactores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
De
Calculando cada menor:
  1. 4 & -4 1 & 1 = (4)(1) - (-4)(1) = 4 + 4 = 8
  2. k & -4 2 & 1 = (k)(1) - (-4)(2) = k + 8
  3. k & 4 2 & 1 = (k)(1) - (4)(2) = k - 8
Substituindo de volta:
De

Passo 5

Simplificando a expressão:
De
Agrupando os termos semelhantes:
De

Passo 6

Agora, queremos saber para quais valores de k o determinante De é diferente de zero, igual a zero ou undefined.
Primeiro, encontraremos as raízes da equação quadrática k^2 - 10k - 24 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = 10 pm raiz100 + 962 = 10 pm raiz1962 = 10 pm 142
Então, temos:
  1. k = 10 + 142 = 12
  2. k = 10 - 142 = -2

Passo 7

Com isso, temos:
  • Se k neq 12 e k neq -2, então De e o sistema tem uma única solução (determinado).
  • Se k = 12 ou k = -2, então De e precisamos verificar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 8

Vamos analisar os casos onde De.
Para k = 12:
Substituímos k = 12 no sistema:
- x + 2 y + 12 z &= 1 12x + 4 y - 4 z &= 2 2 x + y + z &= -24
Resolvendo esse sistema, veremos se há consistência.
Para k = -2:
Substituímos k = -2 no sistema:
- x + 2 y - 2 z &= 1 -2x + 4 y - 4 z &= 2 2 x + y + z &= 4
Novamente, resolvendo veremos a consistência.

Passo 9

Análise para k = 12:
Multiplicando a primeira equação por 12:
-12x + 24y + 144z = 12
Subtraindo da segunda equação:
(12x + 4y - 4z) - (-12x + 24y + 144z) = 2 - 12 24x - 20y - 148z = -10
Simplificando:
12x - 10y - 74z = -5
E analisando a terceira equação, verificamos se há consistência. Após resolver, veremos se há soluções ou não.
Análise para k = -2:
Multiplicando a primeira equação por -2:
2x - 4y + 4z = -2
Adicionando à segunda equação:
(-2x + 4y - 4z) + (2x - 4y + 4z) = 2 - 2 0 = 0
Isso indica que há infinitas soluções.

Passo 10

Após as análises, concluímos:
  • Para k neq 12 e k neq -2: Sistema determinado (única solução).
  • Para k = -2: Sistema indeterminado (infinitas soluções).
  • Para k = 12: Sistema impossível (sem solução).

Resposta

(a) Para k neq 12 e k neq -2, o sistema é possível e determinado;
(b) Para k = -2, o sistema é possível e indeterminado;
© Para k = 12, o sistema é impossível.

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