Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro k. Precisamos descobrir para quais valores de k o sistema:
Tem uma única solução (determinado).
Tem infinitas soluções (indeterminado).
Não tem solução (impossível).
Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, mais especificamente o conceito de determinante e classificação de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz dos coeficientes fica assim:
-1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1
E a coluna dos termos constantes é:
1 2 -2k
Passo 3
Para determinar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se é possível ter infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos calcular o determinante da matriz:
De
Passo 4
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou cofactores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
De
Calculando cada menor:
4 & -4 1 & 1 = (4)(1) - (-4)(1) = 4 + 4 = 8
k & -4 2 & 1 = (k)(1) - (-4)(2) = k + 8
k & 4 2 & 1 = (k)(1) - (4)(2) = k - 8
Substituindo de volta:
De
Passo 5
Simplificando a expressão:
De
Agrupando os termos semelhantes:
De
Passo 6
Agora, queremos saber para quais valores de k o determinante De é diferente de zero, igual a zero ou undefined.
Primeiro, encontraremos as raízes da equação quadrática k^2 - 10k - 24 = 0.