Determine os valores de (se existirem) para que o sistema
(a) seja possível determinado;
(b) seja possível indeterminado;
© seja impossível.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ) e um parâmetro . Precisamos descobrir para quais valores de o sistema:
  • Tem uma única solução (determinado).
  • Tem infinitas soluções (indeterminado).
  • Não tem solução (impossível).
Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, mais especificamente o conceito de determinante e classificação de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz dos coeficientes fica assim:
E a coluna dos termos constantes é:

Passo 3

Para determinar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se é possível ter infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos calcular o determinante da matriz:

Passo 4

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou cofactores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, queremos saber para quais valores de o determinante é diferente de zero, igual a zero ou undefined.
Primeiro, encontraremos as raízes da equação quadrática .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:

Passo 7

Com isso, temos:
  • Se e , então e o sistema tem uma única solução (determinado).
  • Se ou , então e precisamos verificar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 8

Vamos analisar os casos onde .
Para :
Substituímos no sistema:
Resolvendo esse sistema, veremos se há consistência.
Para :
Substituímos no sistema:
Novamente, resolvendo veremos a consistência.

Passo 9

Análise para :
Multiplicando a primeira equação por 12:
Subtraindo da segunda equação:
Simplificando:
E analisando a terceira equação, verificamos se há consistência. Após resolver, veremos se há soluções ou não.
Análise para :
Multiplicando a primeira equação por -2:
Adicionando à segunda equação:
Isso indica que há infinitas soluções.

Passo 10

Após as análises, concluímos:
  • Para e : Sistema determinado (única solução).
  • Para : Sistema indeterminado (infinitas soluções).
  • Para : Sistema impossível (sem solução).

Resposta

(a) Para e , o sistema é possível e determinado;
(b) Para , o sistema é possível e indeterminado;
© Para , o sistema é impossível.

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