Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (, , ) e um parâmetro . Precisamos descobrir para quais valores de o sistema:
Tem uma única solução (determinado).
Tem infinitas soluções (indeterminado).
Não tem solução (impossível).
Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, mais especificamente o conceito de determinante e classificação de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz dos coeficientes fica assim:
E a coluna dos termos constantes é:
Passo 3
Para determinar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se é possível ter infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos calcular o determinante da matriz:
Passo 4
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou cofactores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, queremos saber para quais valores de o determinante é diferente de zero, igual a zero ou undefined.
Primeiro, encontraremos as raízes da equação quadrática .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Passo 7
Com isso, temos:
Se e , então e o sistema tem uma única solução (determinado).
Se ou , então e precisamos verificar se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma.
Passo 8
Vamos analisar os casos onde .
Para :
Substituímos no sistema:
Resolvendo esse sistema, veremos se há consistência.
Para :
Substituímos no sistema:
Novamente, resolvendo veremos a consistência.
Passo 9
Análise para :
Multiplicando a primeira equação por 12:
Subtraindo da segunda equação:
Simplificando:
E analisando a terceira equação, verificamos se há consistência. Após resolver, veremos se há soluções ou não.
Análise para :
Multiplicando a primeira equação por -2:
Adicionando à segunda equação:
Isso indica que há infinitas soluções.
Passo 10
Após as análises, concluímos:
Para e : Sistema determinado (única solução).
Para : Sistema indeterminado (infinitas soluções).