Considere a matriz A=[ll4 & 2 2 & 1].
© Para cada autovalor de A obtido no item (b), determine os autovetores associados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte © do exercício! A gente já sabe que a matriz que estamos trabalhando é A = 4 & 2 2 & 1. No item (b), a gente encontrou os autovalores dessa matriz. Agora, a tarefa é descobrir os autovetores correspondentes a cada um desses autovalores. Isso vai nos ajudar a entender melhor as propriedades da matriz A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que são autovalores e autovetores. Um autovalor ( lambda) de uma matriz A é um número que, quando multiplicado por um autovetor ( v), dá o mesmo resultado que multiplicar a matriz A pelo autovetor v. Matematicamente, isso é representado por:
Av = lambda v
Nosso objetivo é encontrar esses vetores v para cada lambda que já identificamos.

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovetores para cada autovalor. Sabemos que, para cada lambda, a equação Av = lambda v pode ser reescrita como:
(A - lambda I)v = 0
Aqui, I é a matriz identidade. Essa equação nos diz que estamos procurando vetores v que, quando multiplicados por (A - lambda I), resultam no vetor nulo. Isso significa que (A - lambda I) deve ser uma matriz singular, ou seja, seu determinante é zero, o que já usamos para encontrar os autovalores.

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada autovalor encontrado no item (b). Suponhamos que os autovalores sejam lambda1 e lambda2. Para cada lambda, calculamos (A - lambda I) e resolvemos a equação linear resultante para encontrar os componentes de v.
Exemplo com lambda1:
Digamos que lambda1 = 5. Então:
A - 5I = 4-5 & 2 2 & 1-5 = -1 & 2 2 & -4
Agora, temos o sistema de equações:
-1v1 + 2v2 = 0 2v1 - 4v2 = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar a relação entre v1 e v2. Observando a primeira equação:
-1v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2
Então, escolhemos v2 = t (onde t é qualquer número real), e temos:
v = 2t t = t2 1
Isso significa que todos os autovetores para lambda1 = 5 são múltiplos do vetor 2 1.
Repetimos o mesmo processo para lambda2:
Suponha que lambda2 = 0. Então:
A - 0I = A = 4 & 2 2 & 1
O sistema de equações fica:
4v1 + 2v2 = 0 2v1 + v2 = 0
Da segunda equação:
v2 = -2v1
Escolhendo v1 = s, temos:
v = s -2s = s1 -2
Então, todos os autovetores para lambda2 = 0 são múltiplos do vetor 1 -2.

Resposta

Os autovetores associados aos autovalores da matriz A são:
  • Para lambda1 = 5: qualquer múltiplo de 2 1.
  • Para lambda2 = 0: qualquer múltiplo de 1 -2.

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