Considere a matriz
.
© Para cada autovalor de
obtido no item (b), determine os autovetores associados.
© Para cada autovalor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte © do exercício! A gente já sabe que a matriz que estamos trabalhando é
. No item (b), a gente encontrou os autovalores dessa matriz. Agora, a tarefa é descobrir os autovetores correspondentes a cada um desses autovalores. Isso vai nos ajudar a entender melhor as propriedades da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que são autovalores e autovetores. Um autovalor (
) de uma matriz
é um número que, quando multiplicado por um autovetor (
), dá o mesmo resultado que multiplicar a matriz
pelo autovetor
. Matematicamente, isso é representado por:
Nosso objetivo é encontrar esses vetores
para cada
que já identificamos.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovetores para cada autovalor. Sabemos que, para cada
, a equação
pode ser reescrita como:
Aqui,
é a matriz identidade. Essa equação nos diz que estamos procurando vetores
que, quando multiplicados por
, resultam no vetor nulo. Isso significa que
deve ser uma matriz singular, ou seja, seu determinante é zero, o que já usamos para encontrar os autovalores.
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada autovalor encontrado no item (b). Suponhamos que os autovalores sejam
e
. Para cada
, calculamos
e resolvemos a equação linear resultante para encontrar os componentes de
.
Exemplo com
:
Digamos que . Então:
Digamos que
Agora, temos o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar a relação entre
e
. Observando a primeira equação:
Então, escolhemos
(onde
é qualquer número real), e temos:
Isso significa que todos os autovetores para
são múltiplos do vetor
.
Repetimos o mesmo processo para
:
Suponha que . Então:
Suponha que
O sistema de equações fica:
Da segunda equação:
Escolhendo
, temos:
Então, todos os autovetores para
são múltiplos do vetor
.
Resposta
Os autovetores associados aos autovalores da matriz
são:
- Para
: qualquer múltiplo de . - Para
: qualquer múltiplo de .