Considere a matriz .
(c) Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (c) do exercício! A gente já sabe que a matriz que estamos trabalhando é . No item (b), a gente encontrou os autovalores dessa matriz. Agora, a tarefa é descobrir os **autovetores** correspondentes a cada um desses autovalores. Isso vai nos ajudar a entender melhor as propriedades da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que são autovalores e autovetores. Um **autovalor** ( ) de uma matriz é um número que, quando multiplicado por um autovetor ( ), dá o mesmo resultado que multiplicar a matriz pelo autovetor . Matematicamente, isso é representado por:
Nosso objetivo é encontrar esses vetores para cada que já identificamos.
Passo 3
Vamos começar encontrando os **autovetores** para cada **autovalor**. Sabemos que, para cada , a equação pode ser reescrita como:
Aqui, é a matriz identidade. Essa equação nos diz que estamos procurando vetores que, quando multiplicados por , resultam no vetor nulo. Isso significa que deve ser uma matriz **singular**, ou seja, seu determinante é zero, o que já usamos para encontrar os autovalores.
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada autovalor encontrado no item (b). Suponhamos que os autovalores sejam e . Para cada , calculamos e resolvemos a equação linear resultante para encontrar os componentes de .
**Exemplo com :**
Digamos que . Então:
Agora, temos o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar a relação entre e . Observando a primeira equação:
Então, escolhemos (onde é qualquer número real), e temos:
Isso significa que todos os autovetores para são múltiplos do vetor .
**Repetimos o mesmo processo para :**
Suponha que . Então:
O sistema de equações fica:
Da segunda equação:
Escolhendo , temos:
Então, todos os autovetores para são múltiplos do vetor .
Resposta
Os autovetores associados aos autovalores da matriz são:
- Para : qualquer múltiplo de .
- Para : qualquer múltiplo de .
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