Considere a matriz . (c) Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (c) do exercício! A gente já sabe que a matriz que estamos trabalhando é . No item (b), a gente encontrou os autovalores dessa matriz. Agora, a tarefa é descobrir os **autovetores** correspondentes a cada um desses autovalores. Isso vai nos ajudar a entender melhor as propriedades da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que são autovalores e autovetores. Um **autovalor** () de uma matriz é um número que, quando multiplicado por um autovetor (), dá o mesmo resultado que multiplicar a matriz pelo autovetor . Matematicamente, isso é representado por: Nosso objetivo é encontrar esses vetores para cada que já identificamos.

Passo 3

Vamos começar encontrando os **autovetores** para cada **autovalor**. Sabemos que, para cada , a equação pode ser reescrita como: Aqui, é a matriz identidade. Essa equação nos diz que estamos procurando vetores que, quando multiplicados por , resultam no vetor nulo. Isso significa que deve ser uma matriz **singular**, ou seja, seu determinante é zero, o que já usamos para encontrar os autovalores.

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada autovalor encontrado no item (b). Suponhamos que os autovalores sejam e . Para cada , calculamos e resolvemos a equação linear resultante para encontrar os componentes de . **Exemplo com :** Digamos que . Então: Agora, temos o sistema de equações: Podemos resolver esse sistema para encontrar a relação entre e . Observando a primeira equação: Então, escolhemos (onde é qualquer número real), e temos: Isso significa que todos os autovetores para são múltiplos do vetor . **Repetimos o mesmo processo para :** Suponha que . Então: O sistema de equações fica: Da segunda equação: Escolhendo , temos: Então, todos os autovetores para são múltiplos do vetor .

Resposta

Os autovetores associados aos autovalores da matriz são: - Para : qualquer múltiplo de . - Para : qualquer múltiplo de .

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