Sejam W1= & a & c d tais que a=d e b=c e W2= & a b & c d tais que a=c e b=d subespaços de M(2,2).
(a) Determine W1 cap W2 e exiba uma base.

Passo 1

Beleza! A gente tem duas coleções de matrizes 2x2, chamadas W1 e W2, que são subespaços de M(2,2), o conjunto de todas as matrizes 2x2. No W1, as matrizes têm certas relações entre os elementos: a = d e b = c. Já no W2, também tem relações: a = c e b = d. Nosso objetivo aqui é encontrar o que é comum às duas coleções, ou seja, W1 cap W2, e identificar uma base para esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa W1 cap W2. Isso representa todas as matrizes que pertencem tanto ao W1 quanto ao W2. Então, precisamos que uma matriz satisfaça todas as condições de ambas as coleções.

Passo 3

Vamos escrever as condições das duas coleções:
Para W1:
a & b c & d com a = d e b = c
Para W2:
a & b c & d com a = c e b = d

Passo 4

Agora, vamos juntar todas essas condições para uma matriz que está em W1 cap W2:
  1. De W1: a = d e b = c
  2. De W2: a = c e b = d

Passo 5

Substituindo as igualdades, podemos começar simplificando:
  • De a = c (de W2) e b = c (de W1), temos que a = b.
  • Já que a = d (de W1) e b = d (de W2), também temos a = b = d.
Então, todas as letras são iguais: a = b = c = d.

Passo 6

Com essa igualdade, qualquer matriz em W1 cap W2 fica assim:
k & k k & k
onde k é um número real.

Passo 7

Para encontrar uma base desse conjunto, precisamos de um conjunto de matrizes que gere todas as matrizes desse tipo e que seja linearmente independente. Nesse caso, basta uma matriz:
1 & 1 1 & 1

Resposta

W1 cap W2 consiste nas matrizes do tipo k & k k & k , e uma base é , 1 & 11 & 1 ,.

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