Sejam
tais que
e
e
tais que
e
subespaços de
.
(a) Determine
e exiba uma base.
(a) Determine
Passo 1
Beleza! A gente tem duas coleções de matrizes 2x2, chamadas
e
, que são subespaços de
, o conjunto de todas as matrizes 2x2. No
, as matrizes têm certas relações entre os elementos:
e
. Já no
, também tem relações:
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar o que é comum às duas coleções, ou seja,
, e identificar uma base para esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa todas as matrizes que pertencem tanto ao
quanto ao
. Então, precisamos que uma matriz satisfaça todas as condições de ambas as coleções.
Passo 3
Vamos escrever as condições das duas coleções:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos juntar todas essas condições para uma matriz que está em
:
- De
: e - De
: e
Passo 5
Substituindo as igualdades, podemos começar simplificando:
- De
(de ) e (de ), temos que . - Já que
(de ) e (de ), também temos .
Então, todas as letras são iguais:
.
Passo 6
Com essa igualdade, qualquer matriz em
fica assim:
onde
é um número real.
Passo 7
Para encontrar uma base desse conjunto, precisamos de um conjunto de matrizes que gere todas as matrizes desse tipo e que seja linearmente independente. Nesse caso, basta uma matriz: