Sejam tais que e e tais que e subespaços de .
(a) Determine e exiba uma base.

Passo 1

Beleza! A gente tem duas coleções de matrizes 2x2, chamadas e , que são subespaços de , o conjunto de todas as matrizes 2x2. No , as matrizes têm certas relações entre os elementos: e . Já no , também tem relações: e . Nosso objetivo aqui é encontrar o que é comum às duas coleções, ou seja, , e identificar uma base para esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa todas as matrizes que pertencem tanto ao quanto ao . Então, precisamos que uma matriz satisfaça todas as condições de ambas as coleções.

Passo 3

Vamos escrever as condições das duas coleções:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos juntar todas essas condições para uma matriz que está em :
  1. De : e
  2. De : e

Passo 5

Substituindo as igualdades, podemos começar simplificando:
  • De (de ) e (de ), temos que .
  • Já que (de ) e (de ), também temos .
Então, todas as letras são iguais: .

Passo 6

Com essa igualdade, qualquer matriz em fica assim:
onde é um número real.

Passo 7

Para encontrar uma base desse conjunto, precisamos de um conjunto de matrizes que gere todas as matrizes desse tipo e que seja linearmente independente. Nesse caso, basta uma matriz:

Resposta

consiste nas matrizes do tipo , e uma base é .

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Considere a matriz .
© Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.
Prove que é LI se, e somente se, é Ll.
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
Considere a matriz .
(a) Determine o polinômio característico de ;