Sejam tais que e e tais que e subespaços de .
(a) Determine e exiba uma base.
Passo 1
Beleza! A gente tem duas coleções de matrizes 2x2, chamadas e , que são subespaços de , o conjunto de todas as matrizes 2x2. No , as matrizes têm certas relações entre os elementos: e . Já no , também tem relações: e . Nosso objetivo aqui é encontrar o que é comum às duas coleções, ou seja, , e identificar uma base para esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa todas as matrizes que pertencem tanto ao quanto ao . Então, precisamos que uma matriz satisfaça todas as condições de ambas as coleções.
Passo 3
Vamos escrever as condições das duas coleções:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos juntar todas essas condições para uma matriz que está em :
De : e
De : e
Passo 5
Substituindo as igualdades, podemos começar simplificando:
De (de ) e (de ), temos que .
Já que (de ) e (de ), também temos .
Então, todas as letras são iguais: .
Passo 6
Com essa igualdade, qualquer matriz em fica assim:
onde é um número real.
Passo 7
Para encontrar uma base desse conjunto, precisamos de um conjunto de matrizes que gere todas as matrizes desse tipo e que seja linearmente independente. Nesse caso, basta uma matriz: