Se u e v não são paralelos, então alpha u+beta v= 0 Rightarrow alpha=beta=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre vetores e combinações lineares. Estamos tratando de álgebra linear, especificamente sobre a independência linear de vetores. O problema nos diz que, se os vetores u e v não são paralelos, então a combinação alpha u + beta v = 0 implica que alpha = beta = 0. Vamos mostrar por que isso é verdade!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores não serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número k tal que u = kv. Se não são paralelos, isso quer dizer que não há nenhum número k que satisfaça essa igualdade.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre combinação linear. Quando escrevemos alpha u + beta v = 0, estamos dizendo que uma certa combinação dos vetores u e v resulta no vetor nulo. A questão é encontrar os valores de alpha e beta que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Como u e v não são paralelos, eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação alpha u + beta v = 0 é alpha = 0 e beta = 0. Em outras palavras, nada além da combinação trivial (onde ambos os coeficientes são zero) pode resultar no vetor nulo.

Passo 5

Para confirmar isso, vamos supor que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero. Sem perda de generalidade, suponha que alpha neq 0. Podemos isolar u:
u = -betaalpha v
Isso implicaria que u é um múltiplo de v, ou seja, os vetores seriam paralelos. Mas isso contraria a condição inicial de que u e v não são paralelos. Portanto, nossa suposição está errada, e a única possibilidade é que alpha = beta = 0.

Resposta

alpha = beta = 0.

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