Se
e
não são paralelos, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre vetores e combinações lineares. Estamos tratando de álgebra linear, especificamente sobre a independência linear de vetores. O problema nos diz que, se os vetores
e
não são paralelos, então a combinação
implica que
. Vamos mostrar por que isso é verdade!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores não serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número
tal que
. Se não são paralelos, isso quer dizer que não há nenhum número
que satisfaça essa igualdade.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre combinação linear. Quando escrevemos
, estamos dizendo que uma certa combinação dos vetores
e
resulta no vetor nulo. A questão é encontrar os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Como
e
não são paralelos, eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação
é
e
. Em outras palavras, nada além da combinação trivial (onde ambos os coeficientes são zero) pode resultar no vetor nulo.
Passo 5
Para confirmar isso, vamos supor que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero. Sem perda de generalidade, suponha que
. Podemos isolar
:
Isso implicaria que
é um múltiplo de
, ou seja, os vetores seriam paralelos. Mas isso contraria a condição inicial de que
e
não são paralelos. Portanto, nossa suposição está errada, e a única possibilidade é que
.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto das matrizes triangular superior de ordem
. Prove que
é um subespaço vetorial real de
. Obtenha uma base para
e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right),\left(
\right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Resp.: $\left{\left(
Dois vetores não-nulos
e
são paralelos se, e somente se, existe um escalar
tal que
(consequentemente,
e
).
Prove que
é LI se, e somente se,
é Ll.
Considere a matriz
.
© Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.
© Para cada autovalor de