Se e não são paralelos, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos fala sobre vetores e combinações lineares. Estamos tratando de álgebra linear, especificamente sobre a independência linear de vetores. O problema nos diz que, se os vetores e não são paralelos, então a combinação implica que . Vamos mostrar por que isso é verdade!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores não serem paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número tal que . Se não são paralelos, isso quer dizer que não há nenhum número que satisfaça essa igualdade.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre combinação linear. Quando escrevemos , estamos dizendo que uma certa combinação dos vetores e resulta no vetor nulo. A questão é encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Como e não são paralelos, eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é e . Em outras palavras, nada além da combinação trivial (onde ambos os coeficientes são zero) pode resultar no vetor nulo.

Passo 5

Para confirmar isso, vamos supor que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero. Sem perda de generalidade, suponha que . Podemos isolar :
Isso implicaria que é um múltiplo de , ou seja, os vetores seriam paralelos. Mas isso contraria a condição inicial de que e não são paralelos. Portanto, nossa suposição está errada, e a única possibilidade é que .

Resposta

.

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Seja o conjunto das matrizes triangular superior de ordem . Prove que é um subespaço vetorial real de . Obtenha uma base para e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Dois vetores não-nulos e são paralelos se, e somente se, existe um escalar tal que (consequentemente, e ).
Prove que é LI se, e somente se, é Ll.
Considere a matriz .
© Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.