Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a função M(x, y, z) = (x, y, z) 1 & 2 0 & -1 1 & 1 , definida por
é uma aplicação linear. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como verificar se uma função satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
Adição:
Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função M(x, y, z) = (x, y, z) 1 & 2 0 & -1 1 & 1 . Ela é definida como a multiplicação de um vetor em (x, y, z) 1 & 2 0 & -1 1 & 1 = ( x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 1, x cdot 2 + y cdot (-1) + z cdot 1 ) por uma matriz M(x, y, z) = (x + z, 2x - y + z) :
Vamos calcular isso passo a passo. Multiplicando o vetor pela matriz:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a forma simplificada de M(u + v) = M(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (z1 + z2), 2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2)) , vamos verificar as duas propriedades da linearidade.