Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: (c) M: R^3 R^2, M(x, y, z)=(x, y, z)[rr1 & 2 0 & -1 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a função M(x, y, z) = (x, y, z) 1 & 2 0 & -1 1 & 1 , definida por
é uma aplicação linear. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como verificar se uma função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função M(x, y, z) = (x, y, z) 1 & 2 0 & -1 1 & 1 . Ela é definida como a multiplicação de um vetor em (x, y, z) 1 & 2 0 & -1 1 & 1 = ( x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 1, x cdot 2 + y cdot (-1) + z cdot 1 ) por uma matriz M(x, y, z) = (x + z, 2x - y + z) :
Vamos calcular isso passo a passo. Multiplicando o vetor pela matriz:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a forma simplificada de M(u + v) = M(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (z1 + z2), 2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2)) , vamos verificar as duas propriedades da linearidade.
1. Adição:
Sejam = (x1 + z1 + x2 + z2, 2x1 - y1 + z1 + 2x2 - y2 + z2) e M(u) + M(v) = (x1 + z1, 2x1 - y1 + z1) + (x2 + z2, 2x2 - y2 + z2) = (x1 + z1 + x2 + z2, 2x1 - y1 + z1 + 2x2 - y2 + z2) . Então:
M(cu) = M(cx, cy, cz) = (cx + cz, 2(cx) - cy + cz) = c(x + z, 2x - y + z) = cM(u)
Simplificando:
Por outro lado:
Vemos que .
2. Homogeneidade:
Seja um escalar e . Então:
Portanto, .

Resposta

A função é uma aplicação linear.

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