Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a função , definida por é uma aplicação linear. A matéria envolvida aqui é **álgebra linear**, especificamente o conceito de **transformações lineares**. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como verificar se uma função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma **aplicação linear**. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras: 1. **Adição**: 2. **Homogeneidade**: Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Ela é definida como a multiplicação de um vetor em por uma matriz : Vamos calcular isso passo a passo. Multiplicando o vetor pela matriz: Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a forma simplificada de , vamos verificar as duas propriedades da linearidade. **1. Adição:** Sejam e . Então: Simplificando: Por outro lado: Vemos que . **2. Homogeneidade:** Seja um escalar e . Então: Portanto, .

Resposta

A função é uma aplicação linear.

Exercícios relacionados

Sejam tais que e e tais que e subespaços de . (a) Determine e exiba uma base.
Considere a matriz . (c) Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.
Considere a matriz . (a) Determine o polinômio característico de ;
Determine os autovalores e os autovetores operador dado por .