Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a função , definida por
é uma aplicação linear. A matéria envolvida aqui é **álgebra linear**, especificamente o conceito de **transformações lineares**. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e como verificar se uma função satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma **aplicação linear**. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
1. **Adição**:
2. **Homogeneidade**:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função . Ela é definida como a multiplicação de um vetor em por uma matriz :
Vamos calcular isso passo a passo. Multiplicando o vetor pela matriz:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a forma simplificada de , vamos verificar as duas propriedades da linearidade.
**1. Adição:**
Sejam e . Então:
Simplificando:
Por outro lado:
Vemos que .
**2. Homogeneidade:**
Seja um escalar e . Então:
Portanto, .