Prove que (u, v) é LI se, e somente se, (u+ v, u-v) é Ll.

Passo 1

Vamos provar que o par de vetores (u, v) é linearmente independente (LI) se, e somente se, o par (u + v, u - v) também for LI. Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se au + bv = 0 implica que a = 0 e b = 0.

Passo 3

Agora, consideremos os vetores (u + v) e (u - v). Vamos verificar se uma combinação linear desses vetores iguala o vetor zero:
c(u + v) + d(u - v) = 0

Passo 4

Explicando, distribuímos os coeficientes:
cu + cv + du - dv = 0
Agrupando termos semelhantes:
(c + d)u + (c - d)v = 0

Passo 5

Pela definição de independência linear, para que essa combinação seja zero, os coeficientes devem satisfazer:
c + d = 0 e c - d = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
c + d = 0 c - d = 0
Somando as duas equações:
2c = 0 Rightarrow c = 0
Substituindo c = 0 na primeira equação:
0 + d = 0 Rightarrow d = 0

Passo 7

Como a única solução é c = 0 e d = 0, isso mostra que (u + v, u - v) é linearmente independente se (u, v) for linearmente independente.

Passo 8

Inversamente, se (u + v, u - v) é linearmente independente, seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que (u, v) também deve ser linearmente independente.

Resposta

Portanto, mostramos que (u, v) é linearmente independente se e somente se (u + v, u - v) também for linearmente independente.

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