Prove que
é LI se, e somente se,
é Ll.
Passo 1
Vamos provar que o par de vetores
é linearmente independente (LI) se, e somente se, o par
também for LI. Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembramos que dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
e
.
Passo 3
Agora, consideremos os vetores
e
. Vamos verificar se uma combinação linear desses vetores iguala o vetor zero:
Passo 4
Explicando, distribuímos os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Pela definição de independência linear, para que essa combinação seja zero, os coeficientes devem satisfazer:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Como a única solução é
e
, isso mostra que
é linearmente independente se
for linearmente independente.
Passo 8
Inversamente, se
é linearmente independente, seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que
também deve ser linearmente independente.
Resposta
Portanto, mostramos que
é linearmente independente se e somente se
também for linearmente independente.