Prove que é LI se, e somente se, é Ll.

Passo 1

Vamos provar que o par de vetores é linearmente independente (LI) se, e somente se, o par também for LI. Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que e .

Passo 3

Agora, consideremos os vetores e . Vamos verificar se uma combinação linear desses vetores iguala o vetor zero:

Passo 4

Explicando, distribuímos os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Pela definição de independência linear, para que essa combinação seja zero, os coeficientes devem satisfazer:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Como a única solução é e , isso mostra que é linearmente independente se for linearmente independente.

Passo 8

Inversamente, se é linearmente independente, seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que também deve ser linearmente independente.

Resposta

Portanto, mostramos que é linearmente independente se e somente se também for linearmente independente.

Exercícios relacionados

Se e não são paralelos, então .
Seja o conjunto das matrizes triangular superior de ordem . Prove que é um subespaço vetorial real de . Obtenha uma base para e determine sua dimensão.
Resp.: $\left{\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right),\left( \right)\right} \operatorname{dim}(L)=6
Considere a matriz .
© Para cada autovalor de obtido no item (b), determine os autovetores associados.
Sejam tais que e e tais que e subespaços de .
(a) Determine e exiba uma base.