Considere a matriz A=[ll4 & 2 2 & 1].
(a) Determine o polinômio característico de A;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a matriz 4 & 2 2 & 1 e precisa encontrar o polinômio característico dela. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e seus polinômios característicos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular determinantes e trabalhar com polinômios.

Passo 2

Primeiro, o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e é um escalar.

Passo 3

Vamos construir a matriz 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 4 & 2 2 & 1 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 4 - lambda & 2 2 & 1 - lambda para uma matriz 2x2 é . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz a & b c & d . Para uma matriz 2x2 det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (2)(2) , o determinante é . Aplicando isso:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(4 - lambda)(1 - lambda) = 4(1) - 4lambda - lambda(1) + lambda^2 = 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Subtraindo lambda^2 - 5lambda + 4 - 4 = lambda^2 - 5lambda :

Passo 6

Portanto, o polinômio característico de p(lambda) = lambda^2 - 5lambda é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é .

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