Considere a matriz
A=(lll a & b & c d & e & f g & h & i )
tal que det(A)=4. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
a) (llld & e & f g & h & i a & b & c).
b) (ccc-a & -b & -c 2 d & 2 e & 2 f -g & -h & -i).
c) (ccca & b & c d-3 a & e-3 b & f-3 c 2 g & 2 h & 2 i).

Passo 1

Vamos resolver os determinantes das matrizes apresentadas, utilizando o determinante da matriz original A, que é igual a 4. Para isso, vamos aplicar algumas propriedades dos determinantes relacionadas a operações com as linhas das matrizes.

Passo 2

Letra a)
A matriz dada é:
(ccc d & e & f g & h & i a & b & c )
Essa matriz é obtida ao permutar as linhas da matriz original A. Especificamente, a primeira linha de A foi movida para a terceira posição. Em matrizes 3x3, uma permutação cíclica das linhas (como trocar a primeira pela segunda e a segunda pela terceira) não muda o sinal do determinante. Portanto, o determinante dessa nova matriz será o mesmo de A.

Passo 3

Letra b)
A matriz dada é:
(ccc - a & - b & - c 2 d & 2 e & 2 f - g & - h & - i )
Vamos analisar as operações feitas em cada linha:
  1. Primeira linha: Multiplicamos cada elemento da primeira linha de A por -1.
  2. Segunda linha: Multiplicamos cada elemento da segunda linha de A por 2.
  3. Terceira linha: Multiplicamos cada elemento da terceira linha de A por -1.
Sabemos que multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar k multiplica o determinante da matriz por k. Como temos três operações:
  • Multiplicação por -1 na primeira linha: times (-1)
  • Multiplicação por 2 na segunda linha: times 2
  • Multiplicação por -1 na terceira linha: times (-1)
O determinante final será:
det = (-1) times 2 times (-1) times det(A) = 2 times 4 = 8

Passo 4

Letra c)
A matriz dada é:
(ccc a & b & c d-3 a & e-3 b & f-3 c 2 g & 2 h & 2 i )
Vamos identificar as operações realizadas:
  1. Segunda linha: Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha de A.
  2. Terceira linha: Multiplicamos cada elemento da terceira linha de A por 2.
Primeiro, ao subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha, estamos realizando uma operação de adição de múltiplo de uma linha em outra, o que não altera o determinante.
Depois, ao multiplicar a terceira linha por 2, o determinante da matriz é multiplicado por 2.
Portanto, o determinante final será:
det = 2 times det(A) = 2 times 4 = 8

Resposta

c) det = 8

Exercícios relacionados

Verifique se a matriz A dada por
A=(ccc 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 )
é ortogonal.
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Considere a matriz
A=(lll 0 & 2 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 )
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Calcule det (cca^2 & (a+2)^2 (a+2)^2 & (a+4)^2).