Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz elevada à 51ª potência, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e propriedades de matrizes elevadas a potências. Vamos precisar entender como os determinantes se comportam quando a matriz é elevada a uma potência.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que existe uma propriedade bem legal dos determinantes que diz: o determinante de uma matriz elevada a uma potência é igual ao determinante da matriz original elevado à mesma potência. Em fórmula, isso fica:
det(A^n) = (det A)^n
Isso significa que, para encontrar , basta calcular e depois elevar esse resultado à 51ª potência.
Passo 3
Agora vamos calcular o determinante da matriz A = 0 & 2 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 . A matriz dada é:
det A = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de expansão por menores. Vou usar a regra de Sarrus aqui: