Considere a matriz
A=(lll 0 & 2 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 )
Calcule o det(A^51).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz elevada à 51ª potência, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e propriedades de matrizes elevadas a potências. Vamos precisar entender como os determinantes se comportam quando a matriz é elevada a uma potência.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que existe uma propriedade bem legal dos determinantes que diz: o determinante de uma matriz elevada a uma potência é igual ao determinante da matriz original elevado à mesma potência. Em fórmula, isso fica:
det(A^n) = (det A)^n
Isso significa que, para encontrar , basta calcular e depois elevar esse resultado à 51ª potência.

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante da matriz A = 0 & 2 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 . A matriz dada é:
det A = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de expansão por menores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
det A = 0 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1)
Aplicando os valores da matriz det A = 0 cdot (0 - 1) - 2 cdot (2 - 1) + 1 cdot (1 - 0) :
det A = 0 cdot (-1) - 2 cdot 1 + 1 cdot 1
det A = 0 - 2 + 1 = -1

Passo 4

Agora que sabemos que det(A^51) = (det A)^51 = (-1)^51 , vamos aplicar a propriedade que mencionamos no Passo 2:
(-1)^51 = -1
Sabemos que qualquer número negativo elevado a uma potência ímpar continua sendo negativo. Então:

Resposta

det(A^51) = -1

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