Seja T: P3 P2 a transformação linear definida por T(a+b x+c x^2+d x^3)=b+2 c x+3 d x^2. Determine:
Se p in P3 é tal que [p]alpha=[c-1 2 -3 4], determine [T(p)]beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T(a + bx + cx^2 + dx^3) = b + 2c x + 3d x^2 que vai de [p]alpha = -1 2 -3 4 pra . Ou seja, ela pega polinômios de grau até 3 e transforma em polinômios de grau até 2. A transformação está definida por:
Nos perguntam, se temos um polinômio em com coordenadas na base dadas por:
Então, qual é a coordenada de na base , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como aplicar essa transformação no polinômio dado, e como encontrar as coordenadas do resultado na nova base. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa -1 2 -3 4 . Isso quer dizer que o polinômio p = -1 + 2x - 3x^2 + 4x^3 pode ser escrito na base (que geralmente é a base padrão para ):
Aqui, os coeficientes correspondem aos termos de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T(a + bx + cx^2 + dx^3) = b + 2c x + 3d x^2 nesse polinômio T(-1 + 2x - 3x^2 + 4x^3) = 2 + 2(-3)x + 3(4)x^2 . A transformação T(p) = 2 - 6x + 12x^2 pega cada termo de e transforma conforme a regra dada:
No nosso caso, , , , e . Vamos substituir esses valores na transformação:

Passo 4

Agora que temos , precisamos encontrar as coordenadas desse polinômio na base . Presumindo que seja a base padrão para , que é , as coordenadas correspondem diretamente aos coeficientes dos termos.

Passo 5

Então, as coordenadas de [T(p)]beta = 2 -6 12 na base são simplesmente os coeficientes dos termos de :

Resposta

[T(p)]beta = 2 -6 12

Exercícios relacionados

Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (m) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 , então (A-B)^2=(B-A)^2.
Calcular det A=|cccc-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1|.
Gabarito: det A=-55
Considere a matriz
A=[lll 2 & 2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 1 & 3 ]
b) Para cada valor de lambda encontrados no item anterior determinar todas as matrizes solução X=[lx y z] tais que A X=lambda X.
Considere as matrizes
A=[cc 2 & 3 -5 & 9 ], B=[cc 4 & -5 3 & 1 ] e C==[cc 6 & 2 7 & -8 ]
Calcular 6 B.