Seja a transformação linear definida por . Determine:
Se é tal que , determine [T(p)]beta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T(a + bx + cx^2 + dx^3) = b + 2c x + 3d x^2 que vai de [p]alpha = -1 2 -3 4 pra . Ou seja, ela pega polinômios de grau até 3 e transforma em polinômios de grau até 2. A transformação está definida por:
Nos perguntam, se temos um polinômio em com coordenadas na base dadas por:
Então, qual é a coordenada de na base , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como aplicar essa transformação no polinômio dado, e como encontrar as coordenadas do resultado na nova base. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa -1 2 -3 4 . Isso quer dizer que o polinômio p = -1 + 2x - 3x^2 + 4x^3 pode ser escrito na base (que geralmente é a base padrão para ):
Aqui, os coeficientes correspondem aos termos de .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação T(a + bx + cx^2 + dx^3) = b + 2c x + 3d x^2 nesse polinômio T(-1 + 2x - 3x^2 + 4x^3) = 2 + 2(-3)x + 3(4)x^2 . A transformação T(p) = 2 - 6x + 12x^2 pega cada termo de e transforma conforme a regra dada:
No nosso caso, , , , e . Vamos substituir esses valores na transformação:
Passo 4
Agora que temos , precisamos encontrar as coordenadas desse polinômio na base . Presumindo que seja a base padrão para , que é , as coordenadas correspondem diretamente aos coeficientes dos termos.
Passo 5
Então, as coordenadas de [T(p)]beta = 2 -6 12 na base são simplesmente os coeficientes dos termos de :